大学毕业论文-—原子与光场的熵交换研究.doc

长江大学
毕业设计(论文)

题 目 名 称： 原子与光场的熵交换研究
题 目 类 别： 研 究 论 文

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明

原创性声明
本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。
作 者 签 名：　　 　 　　日　 期：　　 　 　　 
指导教师签名：　　 　 　　 日　　期：　　 　 　　

使用授权说明

本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。
作者签名：　　 　 　　 日　 期：　　 　 　　 
1 引言
由于原子与光场间的纠缠特性对研究原子和场量子态制备以及量子信息处理至关重要，因而关于原子与光场间的纠缠特性的研究是量子光学领域内较为活跃的课题之一。
Jaynes-Cummings(J-C)模型是描述单模场与原子相互作用的可精确求解的理想模型。它是由Jaynes和Cummings在讨论微波激射器时提出的，由单个二能级原子（或分子）与一单模量子化的光场组成的相互作用系统的理想模型，它是描述原子与光场相互作用的一种理想模型。由于对它只需作旋波近似就可精确求解，因此不仅在量子光学中，而且在激光物理，核磁共振和量子场论等许多问题中都常被采用。
电磁场能诱导原子不同本征态间的许多跃迁，然而最可能的跃迁是令原子只具有两个非简并能级：和，这样的原子称为二能级原子。二能级原子的本征跃迁频率为，。当它与频率为的单模辐射场发生作用时就导致共振跃迁。显然，二能级原子是一个实际原子的理想模型，它在研究光与物质相互作用的理论中起着很重要作用。从概念上说，二能级原子与磁场中自旋为的粒子属于同一类粒子，所以有时也称它为自旋为的赝自旋粒子。
二能级原子与辐射场相互作用系统的哈密顿量为
（1）
辐射场的能量由波矢为，频率为的无穷多模式的光子叠加而成。裸原子的能量由原子赝自旋算符的分量确定，原子与光场的相互作用哈密顿量可以表示为
（2）
式中第一项反映原子由上态跃迁到下态，同时产生一个光子的相互作用过程，第二项表征原子由下态跃迁到上态同时吸收一个光子的相互作用过程，第三项对应原子跃迁到上态并发射一个光子的过程，第四项则描述原子跃迁到下态同时吸收一个光子的相互作用过程。
若在（1）（2）式中略去不保持系统能量守恒的后两项，则称为旋波近似，此时系统的哈密顿量成为
（3）
利用J-C模型可以揭示原子与光场相互作用过程中一系列重要的非经典性质，如原子布居反转的崩塌与回复现象、原子与光场的压缩效应以及原子与光场的纠缠特性等。von Neumann熵自动包含了量子系统密度矩阵的全部统计矩，它既可灵敏的度量量子态的纯度以及原子与光场的关联程度，又可充分展示系统动力学行为特征。
一个量子系统Von Nuemnan嫡的定义为:

对于两体量子系统，有下面嫡不等式成立：

这里和分别是子系统A和B的约化密度矩阵，是复合系统的密度矩阵。当且仅当复合系统密度矩阵能够写成和的直积时，不等式式的等号成立。
Orszag等研究了J-C模型中原子von Neumann熵的演化规律，发现强相干场驱动的二能级原子的状态在崩塌区域的某一时刻（即回复时刻）接近纯态。Phoenix等利用von Neumann熵考察了J-C模型中原子与场的纠缠。Boukobza等进一步揭示了J-C模型中原子和场的纠缠与它们von Neumann熵交换间的关联。在1990年Banacloche利用线性熵得到了与Orszag相似的结论，所不同的是Banacloche仅讨论了原子初态为纯态的情形。
原子与光场作用的性质不但与环境有关，而且与原子模型和光场密切的关联，不同的光场与原子作用将具有不同的非经典性质。Bekenstein等人给出了灰体辐射场的光子数分布，引起了人们对灰体辐射场的兴趣。灰体辐射场不同于相干场，它处于混合态，其无序度不仅依赖于腔体温度，而且与腔体吸收系数 ()有密切的关系。当腔体的吸收系数=1时，腔体称为绝对黑体，黑体辐射场即为热光场，其光子数分布仅由腔体温度决定。所以灰体场的特殊点在于灰体辐射场不同于相干场，它处于混合态，而由J-C模型描述的系统的演化规律依赖于系统的初态，因而二能级原子与灰体场相互作用过程中原子和光场线性熵的交换规律值得深入探讨。
2006年，赵杰和郭红研究了二能级原子与灰体场相互作用过程中原子和光场线性熵的演化规律，本文将在其研究的基础上研究二能级原子与灰体场相互作用过程中原子和光场线性熵的交换规律，讨论原子与光场线性熵的振动周期与失谐量的关系，熵交换量的振幅与入射光强度、腔体温度及吸收系数的关系。关于此项研究尚未见报道。
本文的关键问题是原子和光场线性熵及其交换量的理论推导以及计算机模拟。
2 基础理论简介
2.1密度算符和熵
考虑纯态情况，纯态可以由系统任一物理量的本征态矢的叠加态来表示
显然在薛定谔绘景中，物理量A在时间t的期望值由态矢确定
（1）
其中物理量A的矩阵元为 （2）
方程式（1）表明，与期望值相关联的函数可以看作为算符的矩阵元
所以引入纯态密度矩阵算符
则物理量的期望值

在相互作用绘景中，考虑A，B组成的耦合系统，则

此处
物理量M的期望值为

耦合系统中约化密度算符可以表示为

当系统处于纯态时，，当系统处于混合态时，，由此人们提出了线性嫡的概念，其定义为:

用来量度所研究的系统对纯态的偏离。线性嫡S的取值范围为:

如果某一系统从相干叠加态，随时间的演化，退化为混合态，在这一过程中，线性嫡的数值增加，其相干性减小，包含在态矢中的信息会丢失。如果系统线性嫡足够大，则系统的部分转置密度矩阵正定，对于两量子位系统，当系统线性嫡时，两量子位彼此分离。
一个量子系统Von Nuemnan嫡的定义为:

对于两体量子系统，有下面嫡不等式成立：

这里和分别是子系统A和B的约化密度矩阵，是复合系统的密度矩阵。当且仅当复合系统密度矩阵能够写成和的直积时，不等式式的等号成立。
2.2相干态以及原子布居周期的崩塌与回复
相干态是光场湮灭算符的本征态矢，

它是一种描述光场的态函数，用这种态函数描述光场可以构成一个波包，其相位有近似确定的值，但光子数具有较大的不确定度。
的表达式为

相干态不具有正交性但它具有完备性，我们把由相干态构成的集称为超完备集。同时相干态是最小不确定态，因而是描述光子波动性的最确定性态，而且用相干态描述的光场能够确定一个小的波包，揭示出光的波动形态。
光场作用下原子行为的量子特性的一个典型表现是原子算符的时间演化呈现周期崩塌与回复效应。
在相干光场作用下，初始光场处在相干态。以初始时原子处于基态，光场处在相干态的情形来说明。光场处在相干态矢集的叠加态

式中为光场处在相干态的概率幅，它满足，对于相干态光场式中取为

随时间演化，时刻系统（原子+光场）的态矢在相互作用绘景中可以表示为

相应的，二能级原子的赝自旋算符的期望值为

其中，上式表明原子的粒子布居差的期望值是无穷多个频率为，振幅为的余弦振荡的带权重叠加，显然这种叠加将使随时间的变化不再是余弦振荡。当作振荡幅度锐减的快速振荡时，通常称这种现象为崩塌；在崩塌后在一个较长的时间范围内保持为0，随后作振荡幅度先增大后减小的快速振荡，的这种振荡幅度从0开始增大的现象称为回复。在相干光场作用下，原子算符的时间演化具有周期性的崩塌与回复的特征，同时，原子的回复周期与相干光场的平均光子数有关，而崩塌的衰减时间并不随明显变化，而且每次恢复到最大值的幅度随着时间的增加是减小的。
3 理论模型与计算公式
3.1 二能级原子能量本征值
Jaynes-Cummings(J-C)模型在旋波近似下的哈密顿量为

其中为裸原子与光场无耦合情况下的能量算符，与分别表示裸原子能量和对应光场的能量，表征光场与原子相互作用能。容易验证，因此和之间可以随意交换顺序。这里的，分别为频率是的单模光场的产生算符和湮没算符；和是描述本征跃迁频率为的二能级原子行为的赝自旋算符；为原子-光场耦合常数，它反映了原子与光场相互作用的强度；为简单起见，这里取自然单位。
令哈密顿量的归一化本征态为

式中表示辐射场具有个光子而且原子处在本征能态，表示辐射场具有个光子而且原子处在本征能态。
本征方程为
，即

利用关系式

可得

取对应项可得方程组

所以
（1）
且有本征态归一化条件
（2）
由（1）（2）整理可得关于的一元二次方程

解方程有

其中为失谐量

令
能量本征值可以表示为

且
3.2 灰体场驱动的二能级原子和光场线性熵的演化
3.2.1本征能态随时间的演化
系统的哈密顿量为

相应本征矢

所以

于是

带入和的表示式可得

同理对于可得

3.2.2 系统的密度矩阵算符
若初始时刻原子处于相干叠加态

则描述系统初态的密度算符可写为

其中，为灰体腔场的光子数概率分布，Bekenstein等人给出了灰体辐射场的光子数分布，引起了人们对灰体辐射场的兴趣。灰体辐射场不同于相干场，它处于混合态，其无序度不仅依赖于腔体温度，而且与腔体吸收系数 ()有密切的关系（当腔体的吸收系数=1时，腔体称为绝对黑体，黑体辐射场即为热光场，其光子数分布仅由腔体温度决定），如果入射场处于光子数态，当腔体与辐射场达到热平衡时

式中，它决定热光场的平均光子数 , 为腔体温度, 为玻尔兹曼常量。从上式不难看出腔体吸收系数及其温度直接影响着腔场的统计性质。
系统时刻的密度算符

将表达式带入经计算可得

3.2.3 原子和光场的线性熵
原子的约化密度算符

光场的约化密度算符

所以，原子的线性熵
（1）
其中

同理，光场的线性熵
（2）
（1式（2）式表明原子和光场的线性熵与原子初态的相位无关。
3.3 灰体场驱动的二能级原子和光场线性熵的交换
由3．2．3可知
原子线性熵相对初始时刻的变化量为：

其中

光场的线性熵相对初始时刻的变化量为：

其中

所以，原子和场的线性熵交换量为：

4 图形及分析说明
4.1 原子与光场线性熵的演化特性
入射光很强 ,腔体温度较低时 ,灰体场的无序度远远小于具有相同平均光子数的热光场 ,此时原子线性熵演化出现如图 1 所示的崩塌与回复现象 ,对比 图 1(a),图 1(b)和图 1(c)，我们不难看出 ,随着吸收系数 a 的增大 , 原子线性熵的回复周期减小 ,回复的最小值增大;这是因为回复周期

在共振条件下 ,回复周期与腔场平均光子数的平方根成正比 ,腔体吸收系数的增大使得灰体场的平均光子数减小 ,进而导致回复周期的减小;回复周期随着失谐量的增加而增加 ,所以图 1 （d） 中原子线性熵的回复时间明显长于图 1(a) 中原子线性熵的回复时间.当系统处于纯态时 ,原子的线性熵始终等于光场的线性熵.不难看出在二能级原子与灰体场相互作用过程中 ,光场线性熵的演化规律不同于原子线性熵的变化规律.在原子线性熵的崩塌区域 ,场的线性熵出现明显的波动 ,且变化范围随腔体吸收系数的增大而减小

(a)

(c)

(e)

(b)

(d)

(f)

(g)

(h)

图1 其中(a)(b)(c)(d)为原子线性熵随时间的演化,(e)(f)(g)(h)为光场线性熵随时间的演化.且
(a)(e) ;(b)(f) ;(c)(g) ;(d)(h)
与热场相互作用的二能级原子线性熵的演化没有崩塌与回复现象（见图2（a））.由强相干场驱动的二能级原子线性熵的演化虽然也出现崩塌与回复现象 , 但在回复的半周期

原子线性熵趋于零(见图2（b））, 这表明原子的状态在该时刻最接近纯态.而灰体场驱动的二能级原子线性熵在崩塌区保持其最大值 ,原子的无序度最大.

(a)

(b)
图2 原子线性熵随时间的演化. (a) ,;(b)相干场的平均光子数
当入射光较弱 ,腔体温度较低 ,且腔体吸收系数较小时 ,初始处于基态的原子在与灰体场相互作用过程中其处于激发态的概率逐渐增加 ,当原子处于激发态的概率达到0.5时,原子处于最无序的状态, 对应的原子线性熵为最大值0.5 ,随着时间的进一步增加 ,原子处于激发态的概率继续增加 ,但原子的线性熵将减小;当原子处于激发态的概率达到最大时 ,原子的线性熵将达到极小值 ,由于腔体的平均光子数越大 ,原子处于激发态的概率越大 ,所以原子线性熵达到的极小值随着腔体吸收系数的增大而增大(图3（b）) ;接着原子处于激发态的概率降低,当其概率降低到0.5时 ,原子的线性熵再次达到最大值0.5 .若腔体吸收系数进一步增加 ,腔体的平均光子数更小 ,真空态占主导地位 ,原子处于激发态的概率一直都小于0.5, ,因此原子线性熵在一个周期内没有回落现象(图3（c）). 当吸收系数较小时 ,原子与光场线性熵的步调一致 ,它们正关联(图3（a）);当吸收系数较大时 , 原子与光场线性熵的变化趋势相反 ,它们反关联(图3（c）).

(a)

(b)

(c)

图3 原子线性熵和光场线性熵随时间的演化,每上下两幅图为一组,上面的为原子线性熵,下面的为光场线性熵.
(a) ;(b) ;(c)
当入射场光子数较小,腔体温度较低,吸收系数较大时,光场有较大的概率处于真空态, 处于光子数态的概率要小得多.当系统处于态时 ,原子与场退耦合 ,所以当原子处于基态时 ,系统演化的 Rabi 频率为2g.随着的增大 ,系统的演化不再对应单一 Rabi 频率;多个 Rabi 频率叠加的结果 ,使得原子线性熵的演化规律复杂得多(图4) .若入射场较强或腔体温度较高 , 改变引起系统总能量的改变量与系统自身能量相比小得多.此时原子初态对原子和光场线性熵的影响将明显减弱.

(a)

(b)

(c)

图4 原子线性熵和光场线性熵随时间的演化.
(a) ;(b) ;(c)
4.2 原子与光场的熵交换
当入射光平均光子数、腔体平均光子数和腔体吸收系数都很小时,线性熵交换图如图5所示.由图5可知,随着失谐量的增加,原子线性熵相对初始时刻的变化量、场的线性熵相对初始时刻的变化量和原子与场的线性熵交换量)的振幅和周期同步变小,说明失谐量的增加导致光场与原子之间能量交换及纠缠变小. ,,的周期由失谐量决定,这是由于入射场平均光子数和腔体平均光子数都很小(为0.1), 随m,n的增加而迅速减小,灰体腔(0图6(a)),原子和场之间的线性熵交换与文献[1]中的von Neumann熵交换相比较,有着相同的变化趋势.当腔体吸收系数a较大时(a=1),的振幅增大(如图6(b)),原子和场之间的熵交换被破坏,但是当入射场平均光子数增大时, 的振幅减小(如图6(c)),原子和场之间的线性熵交换明显.由于腔场的平均光子数较小时,原子和场之间才有明显的线性熵交换;当腔体吸收系数较小时,腔场的光子数概率分布主要由入射场决定;当腔体吸收系数较大时,腔场的光子数概率分布主要由腔体的性质决定.因此当入射场平均光子数较大,腔体平均光子数较小时,原子和场之间的熵交换性质由腔体吸收系数决定.

(a)

(c)

(b)

图6线性熵交换.
(a) ;(b) ;(c)
5 结论
5.1 原子与光场线性熵
原子和光场线性熵的演化与腔场光子数分布、原子与光场的失谐量以及原子初态有关 ,而腔场光子数分布依赖于入射场的光子数、腔体吸收系数及其温度.腔体温度较低 ,入射光很强 ,原子线性熵的演化出现崩塌与回复现象 ,回复周期由腔场的平均光子数和失谐量共同决定 ,其回复的最小值随着腔体吸收系数的增大而增大;入射光较弱 ,原子和光场线性熵对腔体吸收系数和原子初态更为敏感.
52 原子与光场的熵交换
原子和光场线性熵的交换与原子和场的失谐量有着密切的联系,随着失谐量的增加, 的振幅、周期减小,且其振动周期由失谐量决定.当入射光较强,腔体温度较低时,原子和场之间的线性熵交换量由腔体吸收系数决定;当入射光较弱时,线性熵交换量与吸收系数无关.

三．阅读的主要参考文献及资料名称
[1] E.Boukobza,D.J.Tannor．Entropy exchange and entanglement in the Jaynes-Cummings model[J]．Phys Rev A,2005,71(6)：063821~063827．
[2] Phoenix S J D,Knight P L．Establishment of an entangled atom-field state in the Jaynes-Cummings model[J]．Phys Rev A,1991,44(9)：6023~6029．
[3] Simon J．D．Phoenix．Establishment of an entangled atom-field state in the Jaynes-Cummings model[J]．Phys Rev A,1991,44(9)：6023~6029．
[4] J．D．Bekenstein,M．Schiffer．Universality in grey-body radiance：extending kirchhoff's law to the statistic of quanta[J]．Phys Rev Lett,1994,72(16)：2512~2515．