1、三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七七章 一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义定义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例引例.设一物体在常力 F 作用下,位移为 s,则力F 所做的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作故2.性质性质为两个非零向量,则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.运算律运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证
2、明三角形余弦定理证证:则如图.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.已知三点 AMB.解解:则求故机动 目录 上页 下页 返回 结束 为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M:的力
3、F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考思考:右图三角形面积S机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.性质性质为非零向量,则3.运算律运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法(行列式计算见 P339P342)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.已知三点角形 ABC 的面积 解解:如图所示,求三机
4、动 目录 上页 下页 返回 结束 一点 M 的线速度例例5.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上 的表示式.解解:在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径机动 目录 上页 下页 返回 结束*三、向量的混合积向量的混合积1.定义定义 已知三向量称数量混合积混合积.记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.混合积的坐标表示混合积的坐标表示设机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(
5、2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.证明四点共面.解解:因故 A,B,C,D 四点共面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2.向量关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.答案答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由三角形面积公式所以因机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P310 3,4,6,7,9(1);(2),10,12第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有机动 目录 上页 下页 返回 结束
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