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线面平行典型例题和练习

直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键．
1．运用中点作平行线
A
C
N
P
D
M
B
G
图1
例1．已知四棱锥的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD．

2．运用比例作平行线
M
F
N
C
E
A
D
B
H

例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中，，求证：ＭＮ∥平面BCE

3. 运用传递性作平行线
例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行

图4

４.运用特殊位置作平行线
例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？　　
A
B
C
E
F
N
M
B1
A１
C1
图5

课堂强化：
1. 1．棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A-BCD中，点M，N分别是CD和AD的中点，
给出下列命题：
①直线MN∥平面ABC；
②直线CD⊥平面BMN；
③三棱锥B-AMN的体积是三棱锥B-ACM的体积的一半．
则其中正确命题的序号为

2. （2012•山东）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC
．
3. ．（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′； （Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．

4. （2011•上城区）如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．
（1）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；
（2）求DB与平面ABE所成角的正弦值．

5. ．（2009•宁夏）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（I）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积．

7. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．

8. 已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．且M、N、P、Q为中点，
（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；
（2）求截面四边形MNPQ面积的最大值．

9. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长AA1=2，AB=1，E是AA1的中点．
（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）求点A到平面BDE的距离．

10. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，点D、E分别为AB、PC的中点．
（1）在AC上找一点M，使得PA∥面DEM；
（2）求证：PA⊥面PBC；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

11. 空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？

12. 如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，BG=2CG

（I）求证：PC⊥BC；
（II）求三棱锥C-DEG的体积；
（III）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在求AM的长；否则，说明理由．

13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（I）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积

14. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若PD：SP=1：3，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

15.如图，在五面体中，平面ABCD⊥平面BFEC，Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE为全等直角三角形，AB=AD=FB=FE=1，斜边AC=FC=2．
（Ⅰ）证明：AF∥DE；
（Ⅱ）求棱锥D-BCEF的体积．

课后作业
一、选择题
1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是(    )
A.b∥α                          B.bα
C.b与α相交                     D.以上都有可能
3． 直线及平面，使成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（ ）
A．内的所有直线与m异面 B．内不存在与m平行的直线
C．内存在唯一的直线与m平行 D．内的直线与m都相交
5．下列命题中，错误的个数是（ ）
① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知空间四边形中，分别是的中点，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7 ．，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β的是（ ）
A．，β都平行于直线a，b
B．内有三个不共线点到β的距离相等
C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β
8．两条直线a，b满足a∥b，b，则a与平面的关系是（ ）
A．a∥ B．a与相交 C．a与不相交 D．a
9．设表示直线，表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（ ）
A．，则 B．，，则
C．，则 D．，则
10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）
A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定
11.下列四个命题中，正确的是（ ）
①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
12．在下列命题中，错误的是
A. 若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥β
B. 若两个平面没有公共点，则两个平面平行
C. 若平面α∥平面β，任取直线aα，则必有a∥β
D. 若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行
二、填空题
13．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

14．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD中点，则BD1和平面ACE位置关系是 ．
15．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

其中正确的命题是________________.

16．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，DD1，DC中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，有MN∥平面B1BD D1．
三、解答题
17.如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点.求证：平面

18、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．
求证：EH∥BD.

A
B
C
A1
B1
C1
D
19、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证:

20.如图，在正四棱锥中，,点在棱上． 问点在何处时，，并加以证明.

21、已知正方体，是底对角线的交点.
求证：(１) C1O∥面；(2)面．

探究习题：
1.平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC,FB上，且AM:MC=FN:NB，沿AB折起，使得∠DAF=900
(1)证明：折叠后MN//平面CBE；
(2)若AM:MC=2：3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE?若存在，试确定点G的位置.

2.设平面∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A，C∈，B，D∈β，求证：MN∥平面.
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参考