选修2-1-2.3.2直线和双曲线的位置关系.doc

直线与双曲线问题选讲
一、教学目标：
1．知识与技能：
①运用用代数的方法来研究，直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线公共点个数问题.
②能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题.
③掌握相交时的弦长，弦中点或相关轨迹问题，三角形面积问题，对称性问题，存在性问题,与向量综合等问题.
2．过程与方法：
根据诱思探究学科教学论，改变“老师滔滔讲，学生默默听”的传统教学模式，变教师的“满堂教”为学生的“满堂学” .让“教堂”变为“学堂”。在本节课教学中充分安排回忆、尝试、讨论、发言、实物演示，让学生参与到数学知识的探索、发现过程中去，体验知识的形成过程.
二、教学重点、难点：
重点：理解并掌握直线与双曲线的位置关系，并能类比直线与椭圆的位置关系进行求解.
难点：让学生掌握利用代数方法研究解析几何的基本方法. 理解分类讨论、数形结合等数学思想.
三、学情分析
1．能力分析：
①学生已掌握用双曲线简单几何性质的工具.
②学生学生能理解并掌握直线与双曲线的位置关系，并能类比直线与椭圆的位置关系进行求解.
2.认知分析：学生已熟悉从方程讨论曲线几何性质的基本步骤.
四、教学程序
1. 复习引入，创设问题情境
前面我们学习了直线与椭圆的位置关系，那么请同学们回答：
直线与椭圆的位置关系有几种？想一想如何通过图像来表示?它的理论依据是什么?
（简要实录：由于刚学过大家很齐声的回答三种：相离、相交、相切.
请一位同学板演草图，虽不规范但能反映出位置关系.
第三问是理论知识，再请一同学回答应为：联立方程组，得到一元二次方程通过判别式（或解的个数）来说明.
当判别式大于零（或两个不等的根），相交；当判别式等于零（或两个等根），相切；当判别式小于零（或无根），相离.回答的比较完整.
设计意图：通过回忆、总结加强对直线与椭圆位置关系的感性和理性认知，并为学习直线与双曲线的位置关系这节课作下铺垫。）
2.探索研究，体验感悟
一、 直线与双曲线的位置关系：
例1. 已知双曲线，直线试讨论的取值范围，使直线与双曲线
①有两个公共点；
②有且只有一个公共点；
③没有公共点.
设计意图：三个题中前两个类似直线与椭圆的位置关系，但变式二既要考虑直线是否存在，又要对二次项的系数加以讨论.而且位置关系不同于前面的情况，比较特殊.为此通过多媒体演示其位置关系，给以直观的感受，从而使抽象问题直观化，帮助其理解.
例1答案：把代入双曲线中得到关于的一元二次方程.
①当时，即，求得
直线与双曲线有两个公共点.
②当或时，直线与双曲线只有一个公共点,解得.
③当时, 即时，直线与双曲线没有公共点.
赞同
归纳总结：让学生分组讨论，进行小结，比赛看哪个组总结的最好.学生有了亲身的体验，学生们非常积极，举手回答：
学生1：在联立方程组变为一元的方程后，要对二次项系数加以讨论.
学生2：对于有关直线方程的设的问题，注意对直线是否存在要讨论.
学生3：既要联立方程组，又要考虑直线设法及二次项系数是否为零.
（设计意图：大家发言都很好，通过多媒体演示小结.）

延伸拓广：
思考：过平面内一定点作直线，使得其和双曲线有且只有一个公共点，这样的直线的条数问题.

深化问题
例2. 直线与双曲线的右支交于不同的两点，求斜率的取值范围.
变式：过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.
设计意图：由于在上面的基础上解决此题，不同的地方就是交点在右支上，教师可以巡回引导，对于程度较好的提出结合图象理解，最后把两组学生的作品用实物投影机展示，并加以点评，同学们有了清晰的认识，“相交”与“相交于右支”都可以联立方程，由韦达定理来求得.）
学生分组讨论，互相补充很快得出结论，摘录如下：
学生1：联立方程组，通过有两个正根的等价条件.注意直线的斜率及二次项系数.
学生2：数形结合思想.这样的话对于数学思想的运用有了深刻的理解.
例2答案：把代入双曲线中得到关于的一元二次方程由解得
提醒：本题还可拓展延伸：若相交于左支或是左右各一支，怎么求斜率的范围？
二、 直线与双曲线的相交弦问题：
例3.过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线与两点，求弦的长.
设计意图：
运用直线与圆锥曲线的弦长公式，并引导学生学会类比直线与椭圆的相交情况，通过分类讨论，引导学生形成结论：不管直线与双曲线交于同一支还是不同支，弦长公式仍然适用.
过中点的双曲线弦的直线方程：
例3答案：联立方程：，消去得：，由弦长公式.
例4.已知双曲线.
①过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程.
②是否存在直线，使得是被双曲线所截弦的中点？
设计意图：
在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，若能利用中点求出直线方程，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.
点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题
例4答案：①②不存在
归纳：
①注意：点差法的检验方法：有意义的范围为中点满足或.
②“点差法”常见题型有：（1）求中点弦方程、（2）求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、③垂直平分线问题.

三、 直线与双曲线位置关系的综合问题：
例5.直线与双曲线的右支交于不同的两点.
①求实数的取值范围；
②是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

设计意图：
培养学生分析、归纳、推理、类比等能力，使学生进一步掌握利用代数方法研究解析几何的基本方法，加深对解析几何本质的理解及其应用。
例6答案：
① 直线与双曲线C的右支交于不同的两点,联立方程组：
整理得：
由
所以，的范围为：
②假设存在这样的，则根据圆的性质， 与垂直.
先求的坐标.双曲线的，的坐标为(, 0)
设坐标分别为，则由与垂直，得：的斜率 * 的斜率因此：
由于，所以：
而
代入，得： ，解得），舍去正根.
比较得到，这个落在范围内.

所以存在，且.

教学反思：
学生已经有了直线和双曲线联立方程用△法判断位置关系的思想.但没有一个学生考虑到二次项系数为0的情况,因此例1两个班级没有一个人全对.直线和双曲线交点个数问题也有部分学生错误的认为最多有4个.这些问题很糟糕,但也在意料之中.
双曲线中交点的个数和位置关系的联系和椭圆\圆不一样,相交可以是1个交点也可以2个交点,一个交点的情况不一定相切.但判定方法依旧不变△=0相且,△>0相交,△<0相离.这一点学生表面上好象已经明白,但我相信还有一大部分的人依旧不清楚,需要通过明天的课来进一步强化.
在这节课的教学中“点差法”是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子，（也称中点和斜率结合公式）再结合有关条件来求解．当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解．这种方法可以减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的．
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