1、第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义理论价值，值得我们单独给出定义 如果函数如果函数 f(x)
2、在某个极限过程中的在某个极限过程中的极限为零极限为零，那么就称那么就称 f(x)是此极限过程的是此极限过程的无穷小（量）无穷小（量）无穷小举例无穷小举例 无穷小是以零为极限的变量（函数）无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固，不是绝对值很小的固 定数定数。零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.是无穷小量是无穷小量是无穷小量是无穷小量无 穷 小 无穷小与自变量的无穷小与自变量的变化过程变化过程有关，如有关，如 时时 是是 无穷小，但无穷小，但 时，则时，则 不是无穷小。不是无穷小。推论：推论：（1）有限个有限个无穷小之和仍是无穷小；无穷小之和仍是无穷小；（2）常
3、数与无穷小的乘积是无穷小；）常数与无穷小的乘积是无穷小；（3）有限个有限个无穷小的乘积仍是无穷小。无穷小的乘积仍是无穷小。例如例如，因为，因为所以所以 有界函数有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。与无穷小的乘积仍是无穷小。两个无穷小的两个无穷小的和和或或差差或或积积，仍是无穷小。，仍是无穷小。无穷小的性质 2.利用无穷小性质,求极限 p43无穷小乘有界量技巧:分成两个函数,一个是无穷小,另一个是有界量注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.即即其中其中极限与无穷小的关系 如果函数如果函数 f(x)在某个极限过程中，对应的在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值
4、函数值的绝对值无限增大，无限增大，那么就称那么就称 f(x)是此极限过程的是此极限过程的无穷大（量）无穷大（量）。无 穷 大有成立注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.如如无界，无界，不是无穷大不是无穷大观察函数观察函数 y=1/x 的图像的图像 再考察函数再考察函数 y=ln x 注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。xyoy=1/xyxoy=lnx三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.证证作业习题1-4（P43）：2记住：有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小完全理解例题完全理解例题1（P40）及会做习题及会做习题2（P43）
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