华师大版八年级数学上册知识点总结.doc

八年级数学上册复习提纲第11章 数的开方11.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：0。三、平方根和算术平方根是记号：平方根（读作：正负根号a）；算术平方根（读作根号a）即：“”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。其中a叫做被开方数。负数没有平方根，被开方数a必须为非负数，即：a0。四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。七、注意事项：1、“”、“”、“”的实质意义：“”问：哪个数的平方是a；“”问：哪个非负数的平方是a；“”问：哪个数的立方是a。2、注意和中的a的取值范围的应用。如：若有意义，则x取值范围是 。（x-30，x3）（填：x3） 若有意义，则x取值范围是 。（填：全体实数）3、。如：，4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。如：等。2和3怎么比较大小？（你知道吗？不知道就问！）5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。如：确定的取值范围。，23。6、几个常见的算数平方根的值：，。八、补充的二次根式的部分内容 1、二次根式的定义：形如（a0）的式子，叫做二次根式。2、二次根式的性质：(1)（a0，b0）；(2) （a0，b0）；(3) （a0）； (4) 3、二次根式的乘除法：（1）乘法：（a0，b0）；（2）除法：（a0，b0）11.2实数与数轴一、无理数1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数：（1）开方开不尽的数。如：，等。（2）“”类的数。如：，等。（3）无限不循环小数。如：2.1010010001，-0.234242242224，等二、实数1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念：（1）相反数：实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。（2）倒 数：非零实数a的倒数为（a0）。若实数a、b互为倒数，则ab=1。（3）绝对值：实数a的绝对值为：3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（2）按照定义分为： 5、几个“非负数”：（1）a20；（2）|a|0；（3）0。6、实数与数轴上的点是一一对应关系。第12章 整式的乘除12.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：amanap=am+n+p+（m、n、p均为正整数） 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：234=2+3+4=9；(-2)2(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；()3()4=()3+4=()7；(a+b)3(a+b)4(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方1、法则：(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：(am)nps=amn p s 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=23=6；()34=()34=()12；(a-b)24= (a-b)24=(a-b)8（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则：(ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen 文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=222=42；()2=()2()2=23=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；如：2333= (23)3=63，(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底数幂的除法1、法则：aman=am-n（m、n均为正整数，mn，a0） 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：43=4-3=；(-2)5(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；()6()4=()6-4=()2=2；(a+b)16(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2（2）注意a0这个条件。（3）注意该法则的逆应用，即：am-n = aman；如：a x-y= axay，(x+y)2a-3=(x+y)2a(x+y)312.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2)(-4 b2c)(-ab)=(-5)(-4)(-)(a2a)(b2b2)c =-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(-3x2)(-x2)+(-3x2)2 x一(-3x2)1=三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb12.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的来源还是“多项式多项式”。二、完全平方公式1、公式：(ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(+3)2=()2+23+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2-2mna+ a2= m2n2-2mna+ a2；( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2；（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：-21a2b3c3ab=(-213)a2-1b3-1c =-7ab2c（2x2y）3（-7xy2）14x4y3 =8x6y3（-7xy2）14x4y3=8（-7）x6+1y3+214x4y3 =（-5614）x7-4y5-3=-4x3y25（2a+b）4（2a+b）2=（51）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)=21x4y3(-7x2y)-35x3y2(-7x2y)+ 7x2y2(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y4y(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)= 4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)=4y-2x整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。12.5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；如：8a2b-4ab+2a=2a4ab-2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 aa+5a5=-5 a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：102-92 =(10+9)(10-9)=191=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。2、完全平方公式：(ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mna+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2x2y+(2y)2=( x+2 y)2（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。四、补充分解法：1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+23=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+6+(-1)x+6(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。第13章全等三角形 命题 定义：可以判断真假的陈述句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；一个命题分题设和结论两部分。 公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。 定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并可以作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理。 互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 五种基本尺规作图1.等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的边也相等； 如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2.角平分线：判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上 3.垂直平分线： 性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 1.全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.全等三角形： 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 表示方法： ABC DEF 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 3.三角形全等的判定：No.1 边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。No.2 边脚边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.3 角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。No.4 角角边（AAS）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。No.5 斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。 第14章 勾股定理14.1勾股定理一、直角三角形三边的关系ACBcab1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言：如图，在RtABC中，C=90o，A、B、C所对的边分别是a、b、c则有：a2+b2=c2。2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想：“面积拼图法”。3、注意事项：（1）勾股定理必须在Rt使用，若遇到非Rt，则可引垂线段“造”Rt。（2）注意Rt中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。（3）在运用勾股定理求边长时，要用到“开平方”运算，一定要指明“边长为正”的条件，求的是边长的算数平方根。二、Rt的判定1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：若ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则C=90o。“勾股数”：指三个满足a2+b2=c2的正整数，我们称为勾股数。注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为Rt。三、反证法的步骤：先假设 是正确的，然后通过 ，推出与基本事实， ， ，或 相矛盾，说明 ，从而得到 。14.2勾股定理的应用常见问题：1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。4、阴影面积问题。5、作图中的作，等问题。15 数据的收集与表示 生活中的数据无处不在，当大量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这些数据，从而为我们的决策提供依据频数、总次数、频率之间的关系（用公式表示） 频数= 总数频率 总次数= 频数频率 频率= 频数总数 调查和借助统计图表是收集数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段1.2. 19、夏季是观察星座的好季节，天空中有许多亮星，其中人们称之为“夏季大三角”的是天津四、织女星和牛郎星。它们分别属于天鹅座、天琴座、天鹰座。常见的统计图有:(1) 扇形统计图 (2) 折线统计图 (3) 条形统计图 4、科学家研究表明昆虫头上的触角就是它们的“鼻子”，能分辨出各种气味，比人的鼻子灵敏得多。扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比，条形图能准确地表示出每个项目的具体数目，折线图能清楚地反映事物的变化趋势2.扇形统计图及其特点:(1)扇形统计图是利用圆和扇形来表示 总数 和部分的比例关系,即用圆表示 总数 .用扇形表示 部分对象所占的比例 ,扇形的大小反映 频率的大小 (2)(3) 答：放大镜的中间厚，边缘薄，光线在透过放大镜时会产生折射，因此会把物图像放大。扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占 频率 3、怎样做才是解决垃圾问题最有效的方法呢？（P73）3扇形中心角计算方法:(1)(2) 22、绿色植物的一些细胞能进行光合作用，制造养料，它们好像是一个个微小的工厂。扇形的中心角=3600 频率 .(3)(4) 11、火药是我国的四大发明之一，我国古代的黑火药是硝石、硫黄、木炭以及一些辅料等粉末状物质的均匀混合物。迄今为止，可以考证的最早的火药配方是“伏火矾法”。若已知扇形统计图,用量角器量出每个扇形 圆心角 的读数.(5)(6) 一、填空：部分占总体的百分比=.4. 画扇形统计图的步骤(1)(2) 11、火药是我国的四大发明之一，我国古代的黑火药是硝石、硫黄、木炭以及一些辅料等粉末状物质的均匀混合物。迄今为止，可以考证的最早的火药配方是“伏火矾法”。 ;(3)(4) 答：可以节约能源；减少对环境的污染；降低成本。 ;(5)(6) 13、以太阳为中心，包括围绕它转动的八大行星（包括围绕行星转动的卫星）、矮行星、小天体（包括小行星、流星、彗星等）组成的天体系统叫做太阳系。 ;