一次函数与几何综合解答策略.doc

一次函数与几何综合一般解答思路金山初级中学 庄士忠 201508一、“一次函数与几何综合”解题思路：_坐标代入可求表达式_；_由表达式可求坐标或者表达坐标_；_坐标转线段长；_线段长转坐标_；_ k、b的几何意义以及直线的位置关系（平行或垂直）；二、精讲精练1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为_ 总结提升：此题可通过“设份数法”解题。由于直线y=2x的斜率为2，所以其铅直高度比水平宽度就是2；故而我们设OA=1，则AB=AD=CD=2，OD=3，所以y=kx的斜率就是三分之二；与横轴正半轴夹角是锐角，所以k0；2.如图，直线l1交x轴，y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将AOB绕点O逆时针旋转90得到CODCD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1 l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=_总结提升：此题可先通过构造小山坡法，算出直线l1的斜率，由于其与横轴正半轴的夹角是钝角，所以k0，斜率前加负号；再根据旋转是一种全等变换，对应边和对应角都相等，计算出直线l2的斜率，夹角为锐角，所以k0；k1k2=1；3.如图，已知直线l：y=与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为_ 总结提升：1、 首先应学会“数形结合”的思想，看到一个直线的表达式，从中读出相应的信息。比如直线l：y=，首先我们可以从中读出b的信息，它是直线与纵轴交点的纵坐标，所以B点的坐标就是（0，）；其次我们能从中读出斜率的信息，也就是铅直高度与水平宽度的比，由此判断三角形AOB是一个含有30角的直角三角形；2、 根据折叠的轴对称性质，对应边相等，同时有一个角是60，则连接OC，就会出现一个等边三角形，过C点做横轴的垂线，就又会出现一个含有30角的直角三角形，据此可以求出直线AC的斜率，夹角是钝角，所以k为负，前面加负号，再把A点坐标代入表达式求出b即可。4.如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，BC在x轴上，直线y=kx-1平分梯形ABCD的面积，已知A（4，2），则k= 总结提升：1、 对于一个中心对称的图形来说，若一条直线平分它的面积，那么这条直线必然经过这个中心对称图形的对称中心；2、 由于四边形DCBA是一个等腰梯形，是一个轴对称图形，而不是中心对称图形，但是假使我们过A点做底边的垂线，剖掉两边的两个全等的直角三角形，剩下部分就是一个矩形，而矩形是个中心对称图形，同时直线亦平分它的面积，所以这条直线必然经过矩形的对称中心，连接OA，按照中点坐标公式，可求出对称中心的坐标，再代入直线的表达式即可求。5.已知：直线y=mx-3，y随x增大而减小，且与直线x=1，x=3，x轴围成的面积为8，则m的值为_总结提升：1、 由于这四条直线围成了一个梯形，高为2，只需求出上底和下底，按照梯形面积公式列方程解题即可；2、 设直线x=1，x=3分别与直线y=mx-3相交与A、B，则A点的横坐标是1，纵坐标是m-3；B点的横坐标是3，纵坐标是3m-3，将坐标转为线段长，则上底长是大坐标小坐标=0（m-3）=3m；下底长是大坐标小坐标=0（3m-3）=33m；据此列方程解题即可。6.如图，把RtABC放在平面直角坐标系内，其中CAB=90，BC=5，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），将ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为( )A4B8C16D总结提升：1、 根据题目中的已知条件，可先求出点C的坐标（1,4）；2、 由于将三角形ABC向右平移，而根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小，是一种全等变换，所以点C的纵坐标是始终不变的，当它与直线y=2x-6相交时，将纵坐标代入直线的表达式，可求出交点的横纵坐标是5，由此三角形ABC沿着横轴正半轴的方向向右平移了4个距离；3、 根据平移的性质，对应线段平行且相等，则BC扫过的图形是一个平行四边形，底是平移的距离，高是C点的纵坐标，代入面积公式可解。7.如图，已知直线l1：y=与直线l2：y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG：SABC=_ 总结提升：1、 先根据两条直线的表达式，分别求出A、B两点的坐标，同时将B点的横坐标代入直线l1的表达式，可求出D点的坐标，同时由于四边形DEFG是矩形，D、E两点的纵坐标相同，所以将D点的纵坐标代入直线l2的表达式，可以求出E点的坐标；2、 然后再两条直线联立可以求出其交点C的坐标；则矩形和三角形的面积均可求，代入求解即可。8.直线AB：y=-x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB:OC=3:1(1)求直线BC的解析式(2)直线EF：y=kx-k（k0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使得SEBD=SFBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由(3)如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰RtBPQ，连接QA并延长交y轴于点K，求K点坐标 总结提升：1、先将A点的坐标代入直线AB的表达式，求出b的值；由于直线BC的斜率是3，夹角是锐角，所以为正，同时经过B点，因此其表达式为y=3x+6；2、由于直线EF：y=kx-k（k0）交x轴于点D，则D点的纵坐标为0，代入此直线的表达式，可求出其横坐标为1，则D点是一个定点；3、连接BD，则可以看出两个三角形有共同的一边，是“背靠背”的三角形，则其高相等，因此欲使其面积相等，则只需两个底边相等即可，由此D点就是E、F两点的中点，由于这两点分别在两条已知表达式的直线上，所以我们可设E点的坐标为（m，-m+6）， F点的坐标为（n，3n+6）；然后按照中点坐标公式列一个二元一次方程组求解即可。3、 由于平面直角坐标系中出现了直角，我们一般考虑使用“双垂直模型”解题，为此我们过点Q做横轴的垂线QH，构造全等三角形，然后有几何法和代数法两种思路解题；4、 几何法：我们设P点的坐标为（a，0），则H点的坐标为（a6,0），Q点的坐标就是（a6，a），则线段AH的长度就是a，据此计算直线QA的斜率是1，则其同纵轴的夹角=直线y=-x+6同纵轴的夹角=45，则三角形ABK是一个等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，K、B两点关于原点对称，据此可以求出其坐标；5、 代数法：求出直线QA的斜率后，我们将点A的坐标代入其表达式，求出其确切的表达式，然后求这条直线同纵轴交点的坐标即可。【参考答案】【知识点睛】1铅直高度；水平宽度2；-1；3坐标代入可求表达式；由表达式可以求坐标或者表达坐标；坐标转线段长；线段长转坐标；k、b的几何意义以及直线的位置关系（平行和垂直）【精讲精练】1 2；-1 341 5 6C78:9 8（1） （2）存在，k=（3）K（0，-6）练习.如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E，F分别在AD，AB上，且F点的坐标是（2，4）（1）求G点坐标；（2）求直线EF的解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由总结提升：1、首先根据已知条件，分别求出C、A两点的坐标，然后将坐标转为线段长，跟着折叠的轴对称性质，对应边相等，对应角相等，则FB=ABAF=1，FG=AF=2，根据勾股定理可求BG的长，再用BCBG=GC，即可得G点的坐标；2、注意到经由折叠得到的小直角三角形的直角边和斜边比是1:2，根据直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角是30，则可得出BFG=60，这样AFE=EFG=60，这样就又出现了一个含有30角的直角三角形AEF，根据其三边关系比，可以求出AE的长度，进而求出直线EF的斜率和直线上一点E的坐标，则其表达式可求。3、由于平行四边形的四个顶点用顿号隔开，因此无顺序要求，需分类讨论；根据四个顶点的特性，可以判断其中有两个定点F、G，两个动点M、N，根据“两个定点、两个动点”求平行四边形的存在性的解题模型，为保证不重不漏，我们选取定线段FG作为分类的标准进行讨论；4、首先我们让FG作为平行四边形的一边，根据平行四边形对边平行且相等的特性，我们平移FG，使其分别与直线EF和横轴相交，则出现两种情况，分别构成两个等边三角形，求出此等边三角形的底边长，则M点在底边的垂直平分线上，据此可以求出其坐标；5、接着我们让FG作为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分的特性，我们让线段EF绕着其中点P旋转，与直线和横轴分别相交，就是要求的点的位置：由于P即是EF的中点，我们可以根据中点坐标公式，求出P点的坐标，然后再根据P是NN的中点，分别设出这两点的坐标，再利用中点坐标公式，建立两个二元一次方程即可解题即可。解：（1）F(2，4)，B（3，4），四边形ABCD是矩形AF=2，OA=BC=4，AB=3在RtBFG中，由轴对称性质FG=AF=2 BF=AB-AF=1宽宽的街道 高高的房子 满意的笑容 雪白的肚皮BG= G（3，4-）越来越多 越老越黄 越刮越大 越长越高（2）设y=kx+b 在RtBFG中，BF= FG束 一束束 一束束美丽的鲜花BGF=30AFE=EFG=60在RtAEF中，AF=2远处 短处 到处 找到 照亮 明亮 明晚 照明 空气 空军 海军AE= E（0，4-）b=4-么（什么）无（无法）高（高兴）跟（跟着）以（以后）问（问好）各（各种）气（生气）|k|= y=x+4-淘气的娃娃 美丽的夏夜 可口的松果 闷热的天气(3) 存在M（，）禾字旁：秀、香、和、秋提示：尖尖的铅笔 闪闪的星星 蓝蓝的天空如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，过N作FG的平行线交EF于点M，连接MN，GN则四边形MNGF为平行四边形利用特殊角及平行四边形性质求点M坐标即可很红很红的苹果 很多很多的小鸟 很美很美的花儿M（，-）提示：与的方法类似M（，）提示： 方 方字旁（放 旅） 石 石字旁（砍 码 ）如图，过G作EF的平行线交x轴于点N，连接NF，过G作NF的平行线交直线EF于点M，连接GM则四边形MFNG是平行四边形