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不定积分求解方法毕业答辩论文设计学 号 14121401576 Hunan Institute of Science and Technology本科毕业论文题目：关于不定积分解题思路的探讨 作 者 何 宇 届 别 2017系 别 数学学院 专 业 数学与应用数学指导教师 罗德仁 职 称 讲 师完成时间 2017年5月关于不定积分解题思路的探讨On the resolving idea of indefinite integral专 业: 数学与应用数学作 者:何宇指导老师: 罗德仁湖南理工学院数学学院二一七年五月 岳阳摘 要不定积分是求定积分的基础, 在一元微积分学中占有重要地位. 学好不定积分, 对于导数和微分学中其他相关知识的巩固很有帮助. 求解不定积分常用的方法主要有: 基本公式法, 换元积分法, 分部积分法, 有理函数的积分法. 如何快速找到解题的突破口, 灵活使用各类方法是关键. 我们从被积函数的特点出发, 从易到难, 对不定积分进行多角度的观察和分析, 比较各类积分法, 发现和总结规律, 提高不定积分解题能力. 关键词: 不定积分; 基本公式法; 换元积分法; 分部积分法; 有理函数的积分法AbstractIndefiniteintegral is the foundation of definite integral, it occupies an important position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefiniteintegral is helping to derivative and other relevant knowledge. Several methods of solving indefiniteintegral are frequently used, such as basicformulamethod, changethevariable, integrationbyparts, primitivesofrationalfunctions. Whatmattersis how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method.We observed and analysised the indefiniteintegral multi-angle, on the characteristics of integrand, from simple to difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem .Keywords:indefiniteintegral;basicformulamethod;changethevariable;integrationbyparts;integrationbypartsprimitivesofrationalfunctions目 录摘 要IAbstractII0 引言11 原函数与不定积分11.1 原函数存在定理11.2 不定积分的定义22 不定积分的计算方法22.1 基本公式法22.1.1 不定积分线性运算法则22.1.2 基本积分公式及基本公式法32.2 第一换元积分法42.2.1 观察法和联合“凑”微分42.2.2 多次“凑”微分62.3 第二换元积分法62.3.1 根式代换法72.3.2 三角代换法72.3.3 倒代换法82.4 分部积分法92.4.1 幂三指两两相乘u,v的选取92.4.2 幂对反两两相乘u,v的选取102.5 有理函数的积分122.5.1 六个基本积分122.5.2 待定系数法13参考文献150 引言不定积分与定积分构成一元函数积分学. 现实中许多问题, 如: 已知加速度求速度; 已知速度求路程等都与不定积分有关, 这些求导的逆运算便是不定积分的求解. 首先第1章第1节我们利用变上限积分的定义和积分第一中值定理, 证明原函数的存在定理, 1.2节给出了不定积分的定义并总结了不定积分和原函数之间的关系. 第2章在给出不定积分各类解题方法的基础上, 就解题思路和方法的选取技巧作进一步探讨. 1 原函数与不定积分1.1 原函数存在定理 定义1.1 设函数与区间上都有定义.若 (1.1)则称为在区间上的一个原函数. 定义1.2 设在上可积, 由可积的充要条件可知, 对任意的在上也可积, 定义变上限积分 (1.2) 定理1.1 若在上连续, 则由上式（1.1）所定义的函数在上处处可导, 有 (1.3)证 对任一确定的当且时, 由上式和积分第一中值, 存在使得 (1.4)因在处连续, 故有 (1.5)由的任意性, 知是在上的原函数. 1.2 不定积分的定义 定义1.3 函数在区间上的全体原函数称为在区间上的不定积分，记作 (1.6)其中称为积分号, 为被积函数, 为被积表达式, 为积分变量, (1.6)在使用时要看成一个整体.由定义3可知，不定积分和原函数是个体和总体的关系, 即如果为的一个原函数那么的不定积分是一个函数族其中为任意常数, 记作 (1.7)不难发现, (1.8) (1.9)显然, “存在原函数” 和 “存在不定积分” 说法是一样的.2 不定积分的计算方法2.1 基本公式法2.1.1 不定积分线性运算法则我们平时做题都会发现, 求导相对求原函数要简单很多. 因为导数的定义具有构造性, 而原函数的定义只告诉我们, 它的导数恰好等于某个已知的函数, 并没有给出由已知函数求原函数的具体形式和途径.下面先讲述怎样由导数线性运算法则来求不定积分的线性运算法则: 定理2.1 函数和在区间上都存在原函数, 为任意常数，则在上也存在原函数, 且当不同为零时, 有 (2.1)证 由导数的基本性质可知2.1.2 基本积分公式及基本公式法幂函数 为常数, -1指数函数 0 , 1三角函数对数及反三角函数上表便是常用的积分公式. 如果遇到被积函数和公式里的一样, 便可以直接利用公式; 但很多时候我们遇到的被积函数有所变化, 这时我们要将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算.我们将这种方法称为积分基本公式.例1 求.分析: 被积函数显然是一个幂函数, 通过化简便能利用积分公式直接求解.解 .例2 求.分析: 被积函数是两个带根号的分式, 并且两个分母不同, 但我们观察可以发现的乘积恰好是, 这不正好是我们积分公式里的形式吗? 因此可将分子分母同乘一个数再化简求解.解 . 求解不定积分的基本思路是: 先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算, 然后应用不定积分的基本积分公式和线性运算法则来求解.2.2 第一换元积分法定理2.2 设是可微函数, 则 (2.2)上面求不定积分的方法称之为第一换元法, 也叫 “凑” 微分法. 运用公式(2.2), 关键在于寻找合适的, 使与凑微分, 然后进行换元, 故这种方法又称为 “凑” 微分法.使用第一换元法的基本步骤是: 2.2.1 观察法和联合“凑”微分有的被积函数通过观察便能很快 “凑” 出来, 比如以下的这种:例3 ; ; ; . 第一个式子中的能 “凑” 成的微分, 即. 中间变量便是(2.2)中的.其余式子与此类似. 而有的被积函数则比较复杂, 再看一个例题: 例4 求.分析: 初看来无法下手, 但通过观察和推敲可以发现, 对分母中进行求导, 有. 故需将与凑微分, 称为联合凑微分法.解 由, 则.我们再看一个例子:例5 求分析: 被积函数中分母为一个和式的高次幂, 和式应当成一个整体, 再看分子, 可以转化为与和式相关的式子.解 2.2.2 多次“凑”微分有时候我们不能很快的就凑出微分, 这时需用到多次凑微分, 如例6.例6 求分析: 被积函数中含有多个复合函数, 我们可以利用基本积分表中的积分公式，作多步的凑微分. 解 有的时候我们要多次同时凑微分, 这需要我们对导数公式特别熟悉.用凑微分法求解不定积分时, 首先要认真观察被积函数, 当被积函数为复合函数时, 首先考虑这种方法, 为复合函数的中间变量“凑微分”. 当看不清被积函数的特点时, 不妨从被积函数中拿出部分算式来求导尝试, 或许从中可以得到某些启发. 2.3 第二换元积分法当被积函数是复合函数, 还是有很大一部分中间变量的微分不好用第一换元法 “凑” 出来, 这时我们可能用到第二换元积分法. 定理2.3 设是单调可导函数, 且 具有原函数, 则有. (2.3)其中是的反函数.用好第二换元积分法, 关键在于找到合适的换元使积分变得简单, 但在换元过程中要注意需存在反函数且可导, 故需要的可导性和单调性.使用第二换元积分法的基本步骤是: 下面我们通过例题先介绍根式代换.2.3.1 根式代换法例 7 求.分析: 被积函数含有无理根式, 不管是基本公式法还是第一换元法, 都不好求解, 这时第二换元法恰到好处地解决了这个问题: 将无理根式看成一个整体进行根式代换. 解 令 . 由此可见, 当我们遇到被积函数为无理根式的时候, 可以优先考虑根式代换法. 下面再讲讲三角代换.2.3.2 三角代换法 例8 求. 分析: 被积函数中让人联想到三角函数让人联想到三角函数, 在一个直角三角形中,为斜边, 为一直角边, 如右下图1.解 则 图1 . 如遇被积函数中含, 考虑换元令;如遇被积函数中含, 考虑换元令;如遇被积函数中含, 考虑换元令.碰到这些形式的, 都可以使用三角代换法. 2.3.3 倒代换法例9 求分析:被积函数中分母的幂函数次数很高, 能否找个中间变量使分母变成分子, 简化计算呢? 我们会想到以前的倒数!解 令则 不难发现, 当被积函数中分母的次数较高时, 我们考虑倒代换.用第二换元积分法解题, 根式代换, 三角代换, 倒代换是常用手段. 两类换元积分法的联系: 基本方法都是换元, 进行的都是求微分的核心运算. 两类换元积分法的区别: (1)第一换元法是将看成自变量, 第二换元法是将看当成中间变量; (2)第一换元法先微分后换元, 第二换元法是先换元再微分; 2.4 分部积分法 设函数和都具有连续的导数, 则有分部积分公式: -= 或 . (2.4)其原理是函数四则运算的求导法则的逆用. 当被积函数是指数函数, 三角函数, 幂函数, 对数函数或者反函数中任意两个的乘积时, 常考虑用分部积分法. 关键在于找好, 把它凑成, 用两个因式乘积减去的积分.那么, 在选取时, 应该注意哪些问题呢? 下面通过例题来探讨一下.2.4.1 幂三指两两相乘的选取例10 求.解 (方法一) 将看成, 则 (方法二) 将看成, 则 , 到这一步的时候我们发现比原题更难, 因此题中的选取是有技巧的.当被积函数是三角函数与幂函数的乘积时, 把三角函数看成是有利于计算的.下面继续探讨一种类型: 例11 求. 分析：被积函数是指数函数和幂函数的乘积, 发现选, 其余部分凑微分形成, 这样在使用分部积分公式后可以对幂函数进行降幂. 这里我们还要用到多次分部积分. 解 .如果选, 原式, 新积分不比原积分简单, 因此将幂函数看成, 指数函数看成. 同理, 当被积函数是指数函数与三角函数的乘积时, 将指数函数看成, 这里还用到循环分部积分法.例12 求解 由于所以通过例题我们发现, 当被积函数是三角函数和指数函数的乘积时, 要分部积分两次. 2.4.2 幂对反两两相乘的选取 例13 求. 分析: 类似上面例题的思路, 发现选为更好. 解 当被积函数是幂函数与对数函数的乘积时, 将对数函数看成, 幂函数看成无疑是更利于计算的. 下面再看下幂函数与反三角函数的例子, 这里我们还得对式子作适当的变形. 例14 求. 解 令, 则 有 . 当被积函数是幂函数与反三角函数的乘积时, 将幂函数看成. 同理, 若是对数函数与反三角函数的乘积, 将对数函数看成. 综上所述, 分部积分法在选取时, 有一定的选取技巧, 这样使运算更为方便: （1）根据容易求出;（2） 新积分比容易求. 一般的, 积分从反函数到指数函数会越来越简单. 被积函数中是 “反对幂三指” 5类函数的2种, 根据“反对幂三指” 先后顺序, 前者为后者为. 如被积函数是三角函数与对数函数的乘积时, 把三角函数看成, 即的选取顺序为指数函数, 三角函数, 幂函数, 对数函数, 反函数. 2.5 有理函数的积分 我们把形如 (2.5)称为有理函数. 其中及为常数, 且的次数小于的次数, 称分式为真分式; 的次数大于的次数, 称分式为假分式. 2.5.1 六个基本积分我们把被积函数分成基本类型的几个函数进行积分时, 总是假定它们可分成若干基本分式. 理论上任意一个有理真分式函数的积分, 都可以拆分成6个类型的基本积分的代数和:(1)(2)(3)(4)(5)(6) 可由递推法求得. 例15 简单的有理真分式拆分, 如 . 有的时候, 被积函数不能很快地拆分成几个基本分式, 下面介绍一种好用的方法. 2.5.2 待定系数法(1) 被积函数拆成多个分式后, 如分母中含有因式时, 部分分式形式中对应项应该是这样:(2) 如分母中含有因式时, 分式形式中对应项应是这样:例16 求.解 被积函数的分母分解成, 故可设, 其中为待定系数. 上式两端去分母后, 得 , 比较两端同次幂的系数, 有解得 因此, 致谢本文是在罗德仁博士的指导和帮助下完成的, 他细心的教导令我受益匪浅, 无微不至的关怀更是让我平添许多信心. 在此对罗老师表示衷心的感谢! 参考文献1数学分析(第4版)M. 高等教育出版社,2011.2王晓康. 浅谈不定积分的第一换元积分法J. 科技资讯,2008,(07):194.3曾亮. 第二换元法求解某类积分的探讨J. 中国科技信息,2008,(11):263-264.4杨艳华. 两类“换元积分法”的联系与区别J. 科教文汇(上旬刊),2013,(12):47+49.5汤茂林. 分部积分法在二重积分中的巧用J. 高等数学研究,2007,(02):52-53.6包树新,展丙军. 第二类分部积分法及其应用J. 高师理科学刊,2010,(01):39.7李鸿儒. 不定积分中的拆项积分法J. 数学学习,1994,(04):10-12.8王伟珠.有理函数的不定积分的求解技巧J.中国商界(上半月),2010,(11):327-328.9崔连香.整体思想求解不定积分J.硅谷,2011,(03):191.10王耀卫.浅谈求解不定积分的几个原则J.赤峰学院学报(自然科学版),2009,(11):11-12.11 Wright K. Series Methods for IntegrationJ. Computer Journal, 1966, 9(2):191-199.