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第三章：圆
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线
圆弧（简称：弧）：圆上任意两点的部分
弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径）
如图所示，以A，B为端点的弧记做，读作：“圆弧AB”或者“弧AB”；线段AB是⊙的一条弦，弦CD是⊙的一条直径；
【典型例题】
例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）．
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个

例2．点到⊙上的最近距离为，最远距离为，则⊙的半径为
　　　　．
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；

三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；

四、圆与圆的位置关系
考查形式：考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对应，常以填空题或选择题的形式出现．题目常与图案、方程、坐标等进行综合
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；

例、1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（    ）
A. 5       B. 1        C. 1或5      D. 1或4

2、若两圆半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d，且R2＋d2－r2＝2Rd，则两圆的位置关系是（ ）  
A. 内切      B. 外切      C. 内切或外切     D. 相交

3. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是_______________ 。

【变式训练】
1、⊙O1 和⊙O2 的半径分别为1和4，圆心距O1O2＝5，那么两圆的位置关系是（   ）
A. 外离    B. 内含       C. 外切      D. 外离或内含
2、如果半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（  ）
A. 2个      B. 3个       C. 4个        D. 5个
3、已知：⊙O1和⊙O2的半径是方程x2－5x＋6＝0 的两个根，且两圆的圆心距等于5则⊙O1和⊙O2的位置关系是（  ）
A. 相交      B. 外离    C. 外切      D. 内切
二、填空题
4. ⑴⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为4cm，圆心距为6cm，则⊙O2的半径为__________;
⑵⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为6cm，圆心距为4cm，则⊙O2的半径为__________
5.⊙O1、⊙O2和⊙O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若⊙O2分别与⊙O1，⊙O3相交，⊙O1与⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3圆心距 d的取值范围是_____。

五、垂径定理
考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论1：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧

例1、如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5

A
B
M
O
例2、如图，⊙O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上异于A、B的一动点，则线段OM的长的取值范围是（    ）
  A. 3≤OM≤5  B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5   D. 4＜OM＜5

例3、如图，在⊙O中，有折线，其中，，，则弦的长为（ ）。
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【变式训练】
1、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有
圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦
AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ）
A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸

2、在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．

3、如图23-14，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是．

4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为( )
A．2cm B．14cm
C．2cm或14cm D．10cm或20cm

六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧DE
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴

2、圆周角定理的推论：
推论1：在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径（的圆周角所对的弦是直径）；
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径

例1、如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°
则∠BOC的大小是（ ）
A．60○ B．45○ C．30○ D．15○

2、如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○ ，AC＝3，
则△ABC的周长是____________.

【变式训练】
1.如图，在⊙O中，弦AB=1.8m，圆周角∠ACB=30○ ，
则 ⊙O的直径等于_________cm．

2.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD
则图中和∠1相等的角有______

3.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（ ）

4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，求 AB与CD之间的距离．

八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴

例1.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，
则∠DAB的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°

2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°

九、切线的性质与判定定理
考查形式：对切线的判定和性质的考查是圆中常见的题目类型，常以解答题的形式出现．题目经常与翻折、旋转、平移等动态过程相结合，以探索的形式出现．
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的直径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
例1.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在
⊙O上．如果∠P＝50○ ，那么∠ACB等于（ ）
A．40○ B．50○
C．65○ D．130○

2、如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．

3、已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．(10分)
求证：（1）AD＝BD；　（2）DF是⊙O的切线．

课后习题：
1.已知一个圆的半径为3cm,另一个圆与它相切，且圆心距为2cm,则另一个圆的半径是 （ ）
A 5cm B 1cm C 5cm或1cm D 不能确定
2.下列说法不正确的是（ ）
A 直径所对的圆周角是直角 B 圆的两条平行弦所夹的弧相等
C 相等的圆周角所对的弧相等 D 相等的弧所对的圆周角相等
3. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ ）．
A、2 B、4 C、6 D、8
4. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（　　）
A．5 　　 B．7 　　 C． 　　　 D．

图7
图8
图4

O
D
A
B
C
Ｏ
Ａ
Ｂ
图5
图6
A
C
D
O
B

5.如图5，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）
A． 　B． C． D．
6.已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是________．
7.如图6，为⊙O的直径，点在⊙O上，，则 ．
8.如图7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则∠ADC＝ .
9.如图8，⊙O中，的度数为320°，则圆周角∠MAN＝___________
A

B
C
D
E
F
图12

O
10．如图12，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．
(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为2，BD＝，求BC的长．

E

D
B
A
O
C
11、如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。
（1）求证：ACO=BCD。 （2）若EB=8，CD=24，求⊙O的直径。

12.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，
若PC=22，求PD的长．

附加基础题：
1．下列五个命题: (1)两个端点能够重合的弧是等弧； (2)圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分； (3)经过平面上任意三点可作一个圆；(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形； (5)三角形的外心到各顶点距离相等. 其中真命题有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图1，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．O是△ABC的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（ ）．
A．100°B．120°C．130° D．160°
4．如图2，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=（ ）．
A．65° B．50° C．130° D．80°
5．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）．
A．15 B．12 C．13 D．14
6．已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，那么这两个圆的位置关系是（ ）．
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
7．⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O相切的圆的半径一定是（ ）．
A．1cm或7cm B．1cm C．7cm D．不确定
8．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）．
A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm
二、填空题．
1．⊙O中，弦MN把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果T为MN中点，则∠TMO=_________，则弦MN所对的圆周角为_______．
2．⊙O到直线L的距离为d，⊙O的半径为R，当d，R是方程x2-4x+m=0的根，且L与⊙O相切时，m的值为_________．
3．如图3，△ABC三边与⊙O分别切于D，E，F，已知AB=7cm，AC=5cm，AD=2cm，则BC=________．
4．已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r的所有可能的正整数值为_________．

十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分

例1、如图2，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=（ ）．
A．65° B．50° C．130° D．80°

2、如图3，△ABC三边与⊙O分别切于D，E，F，已知AB=7cm，AC=5cm，AD=2cm，则BC=________．

【变式训练】
3、如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（　 　）
A．2 B． C． D．3

4、如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P=60°，PB=2cm，求AC的长．

十一、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十二、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行

（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.

例1、两等圆半径为5，圆心距为8，则公共弦长为__________．
例2、正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是　（ ）
（第35题）
A
B
C
O
A.60° 　　　 B.120° C.60或120　 　 D.30°或150°

例3、如图, ⊙O是等边三角形的外接圆，⊙O的半径为2，
则等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、半径分别为8和6且圆心距为10的公共弦长为____
2、如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为___________.
3、如图5，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为__________

十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（p132）
考查形式：考查运用弧长公式（）以及扇形面积公式（和）进行有关的计算，常以填空题或选择题的形式进行考查．
1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2圆柱的体积：
3、圆锥：
（2）圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：

例1、已知扇形的圆心角为120°，弧长等于半径为5㎝的圆的周长，则扇形的面积为（ ）
A、75㎝2 B、75㎝2 C、150㎝2 D、150㎝2

例2、底面面积为8π，高为3的圆柱的表面积和体积分别为：___________

例3、圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )
A.180° B.200° C.225° D.216°

例4、AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.
⑴求∠A的度数；
⑵若弦CF⊥AB，垂足为E，且CF＝，求图中阴影部分的面积.（15分）

【变式训练】
1、 方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积
和为 （结果保留）．

2、已知⊙O的半径为8cm，点A为半径OB的延长线上一点，射线AC切⊙O于点C，弧BC的长为 cm ，求线段AB的长。

综合复习题：
1．下列命题中，正确命题的个数为（ ）.
①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直；④圆周角相等，则它们所对的弧相等．
A．1个 B．2个 C． 3个 D． 4个
2． 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500，点D是弧BAC上一点，则∠D的度数________.

P
O
B
A

3、如图1，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，
⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°

４、一条弦把半径为8的圆分成长度为1∶2的两条弧，则这条弦长为（ ）

A、 B、 C、8 D、16

５、如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是（ ）
A.40° B.50° C.60° D.80°
A
D
B
C
O
６、在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是和，则 ∠BAC的度数为__＿＿＿＿＿
7、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD ＝ 度．

8、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F.
∠D＝30°，BC＝1，求圆中阴影部分的面积为：_______________

9、如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长

10、如图，，切⊙O于，两点，切⊙O于点，分别交、与点、，若，的长是关于关于的一元二次方程的两个根，求的周长．

11、如图，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点C是y轴与弧AB的交点。
（1）求圆心M的坐标；
2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积

课后习题：
一、选择题：
1、下列说法正确的是( )
A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆
C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆
2、两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm，且大圆半径是小圆半径的2倍，则小圆的半径为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
3、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）。
Ａ．10π B．12π Ｃ．15π Ｄ．20π
4、已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B．3cm C．4cm D．6cm
5、一个正多边形的内角和是720°，则这个多边形是正 边形（ ）
A.四 B.五 C.六 D.七

6、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （　　）
A.1∶2∶3　 　B.1∶∶ C.∶∶1 D.3∶2∶1
二、 填空题：

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图

7、在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B＝60°，∠C＝70°，则∠BOD的度数是________．
8、如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点，且，，连结交小圆于点，则扇形的面积为
9、如图⊙A⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
10、如图，已知扇形OAB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于点D，则图中阴影部分的面积为：（ ）
A．6 B．10 C．12 D．20
11、矩形ABCD中，对角线AC＝4，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。
12、扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的周长为_________。

三、 解答题：
13、如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D．弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E．证明：AE=BE
F
E
C
B
A
O
D

14、如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。求证：OC=OD。

15、如图,点C平分弧AB,CM⊥AO于点M,CN⊥OB于点N,则CM与CN有什么关系?为什么？

16、已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于
点C．（1）如图①若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

　　　 　　　　　　　　　‚　　　　　　　

17、 线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6cm，AB=6cm，求：
（1）⊙O的半径；（2）圆中阴影部分面积．

18如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆P合好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．
（1）求证：△AOC≌△AOD；
（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．

19、如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，
过点M作MN∥OB交CD于N．
⑴求证：MN是⊙O的切线；
⑵当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．

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