1.3.2函数的最大(小)值.doc

1.3.2 函数的最大（小）值（一）教学目标1知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.2过程与方法借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.3情感、态度与价值观在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.（二）教学重点与难点重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.（三）过程与方法合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题1函数f (x) = x2. 在( ，0)上是减函数，在0，+）上是增函数. 当x0时，f (x)f (0)， x0时， f (x)f (0).从而xR. 都有f (x) f (0).因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值.2函数f (x) = x2同理可知xR. 都有f (x)f (0). 即x = 0时，f (0)是函数值中的最大值.师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征；师生合作定性分析函数f (x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值. 应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.形成概念函数最大值概念：一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足：（1）对于任意x都有f (x) M.（2）存在x0I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x) 的最大值.师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即f (x0) f (x)意味着什么？生：f (x0)为函数的最大值，必须满足：x0定义域；f (x0) 值域；f (x0)是整个定义域上函数值最大的.由实例共性抽象获得最大值概念.形成概念函数最小值概念.一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意xI，都有f (x)M.（2）存在x0I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x)的最小值.师：怎样理解最大值.生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.师：函数最小值怎样定义？师生合作，学生口述，老师评析并板书定义.由最大值定义类比最小值定义.应用举例例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？训练题1：已知函数f (x) = x2 2x 3，若xt，t +2时，求函数f (x)的最值.例2 已知函数y =(x2，6)，求函数的最大值和最小值.训练题2：设f (x)是定义在区间6，11上的函数. 如果f (x) 在区间6，2上递减，在区间2，11上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (2)是函数f (x)的一个 .训练题3：甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固 定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程.例1解：作出函数h(t) = 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t) = 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t =1.5时，函数有最大值h =29.于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.师：投影训练题1、2.生：学生相互讨论合作交流完成.训练题1解：对称轴x = 1，（1）当1t +2即t1时，f (x)max = f (t) = t 2 2t 3，f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t 3.（2）当1t +2，即1t0时，f (x)max = f (t) = t 2 2t3，f (x)min= f (1) = 4.（3）当t1，即0t1，f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t 3，f (x)min = f (1) = 4.（4）当1t，即t1时，f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t 3，f (x)min = f (t) = t 2 2t 3.设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有g (t) =例2分析：由函数y =(x2，6)的图象可知，函数y =在区间2，6上递减. 所以，函数y =在区间2，6的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间2，6上的任意两个实数，且x1x2，则f (x1) f (x2) =. 由2x1x26，得x2 x10，(x11) (x21)0，于是 f (x1) f (x2)0，即 f (x1)f (x2).所以，函数y =是区间2，6上是减函数. 因此，函数y =在区间2，6的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4.训练题2答案：最小值.训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决.解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：y = b+ ax2.y = s (a x +) . （其中x(0，+). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y 取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +)x(0，+)，a0，b0在其定义域内的单调性.设x1，x2(0，+)，且x1x2，则f (x1) f (x2) = s(ax1 +) (ax2 +)= sa (x1 x2) +=x1，x20，且x1x2x1x20，a (x1 x2)0当x1，x2(0，)时，x1，x2，x1x2 0，f (x1)f (x2)，当x1，x2，+时，x1x2，x1x2 0，f (x1) f (x2).综上所述，我们看到函数y = s(ax +) (a0，b0)并不是整个区间（0，+）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =时，y取得最小值即y min =2s. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x =km / h的速度行驶.自学与指导相结合，提高学生的学习能力.讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养进一步固化求最值的方法及步骤.（1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现.（2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.归纳总结1最值的概念2应用图象和单调性求最值的一般步骤.师生交流合作总结、归纳.培养学生的概括能力课后作业1.3第二课时 习案学生独立完成能力培养备选例题例1 已知函数f (x ) =，x1，+).（）当a =时，求函数f (x)的最小值；（）若对任意x1，+)，f (x)0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x +2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化(x1，+)恒成立，等价于x2 + 2x + a0 恒成立，进而解出a的范围.解：（1）当a =时，f (x) = x +2因为f (x)在区间1，+）上为增函数，所以f (x)在区间1，+）上的最小值为f (1) =.（2）解法一：在区间1，+）上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a0恒成立.设y = x2 +2x+a，(x + 1) 2 + a 1在1，+)上递增.当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a0时，函数f (x)0恒成立，a3. 解法二：f (x) = x +2 x1，+).当a0时，函数f (x)的值恒为正；当a0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.于是当且仅当f (x)min =3 +a0时，函数f (x)0恒成立. 故a3.例2 已知函数f (x)对任意x，yR，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x0时，f (x)0，f (1) =.（1）求证f (x)是R上的减函数；（2）求f (x)在3，3上的最大值和最小值.分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = y可得： f (x) = f (x)，在R上任取x1x2，则f (x1) f (x2) = f (x1) + f ( x2) = f (x1x2).x1x2，x1x20. 又x0时，f (x)0，f (x1x2)0， 即f (x1) f (x2)0.由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.（2）f (x)在R上是减函数，f (x)在3，3上也是减函数， f (3)最大，f (3)最小.f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3() = 2. f (3) = f (3) =2.即f (3)在3，3上最大值为2，最小值为2.