2018届高三一轮复习讲义第5章第4节平面向量的综合运用.doc

1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝＝，
其中a＝(x，y)，a为非零向量

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
3．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
【知识拓展】
1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.
2．若直线l的方程为：Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)
(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(　×　)
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)
(4)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　×　)
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)

1．(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案　B
解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，
∴||＝＝2，||＝＝4，
||＝＝6，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
2．已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
答案　D
解析　在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC2，又·＝||·||·cos A＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以＋＝2，两边平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故选D.
3．(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．
答案　x＋2y－4＝0
解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，
即x＋2y＝4.
4．(2016·银川模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________．
答案　4
解析　设a与b夹角为α，
∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2

＝8－4|a||b|cos α＝8－8cos α，
∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]，
∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，
∴|2a－b|∈[0,4]．
∴|2a－b|的最大值为4.
5．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J.
答案　300
解析　W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
＝6×100×cos 60°＝300(J).
题型一　向量在平面几何中的应用
例1　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.
(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心B．外心 C．重心D．垂心
答案　(1)　(2)C
解析　(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，
又∵＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋||||cos 60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，∴||＝.
(2)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线ADD为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
引申探究
本例(2)中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．
答案　内心
解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．
思维升华　向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
　(1)在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
答案　(1)A　(2)5
解析　(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的平分线．因为(＋)·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又·＝··cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．
(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.

则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，
P(0，y)，
＝(2，－y)，＝(1，a－y)，
则＋3＝(5,3a－4y)，
即|＋3|2＝25＋(3a－4y)2，
由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.
因此当y＝a时，|＋3|2的最小值为25.
故|＋3|的最小值为5.
题型二　向量在解析几何中的应用
例2　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．
(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝________________________________________________________________________.
答案　(1)2x＋y－3＝0　(2)±
解析　(1)∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(6，k－5)，且∥，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得k＝－2或k＝11.
由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.
(2)∵·＝0，∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
思维升华　向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．
　(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．

答案　－
解析　∵圆心O是直径AB的中点，
∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，
∵与共线且方向相反，
∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当PO＝PC＝时，最小值为－2××＝－.
题型三　向量的其他应用
命题点1　向量在不等式中的应用
例3　已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________．
答案　
解析　因为＝(x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.

命题点2　向量在解三角形中的应用
例4　(2016·合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵20a＋15b＋12c＝0，
∴20a(－)＋15b＋12c＝0，
∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0，
∵与不共线，
∴⇒

∴△ABC最小角为角A，
∴cos A＝
＝＝，
∴sin A＝，故选C.
命题点3　向量在物理中的应用
例5　如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)

A．2 B．2
C．2 D．6
答案　A
解析　如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2.
思维升华　利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．
　(1)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是______．

(2)已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．
答案　(1)3　(2)3
解析　(1)由图象可知，M，N，
所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，
解得xN＝2，
所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.
(2)∵＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，＝(2,3)，
∴·＝x＋y，·＝y，·＝2x＋3y，
即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识得，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.

三审图形抓特点

典例　(2016·太原一模)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)

A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝

―→―→
―→
解析　由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图．B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF＝.
又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数y＝sin(ωx＋φ)图象可以看作是由y＝sin ωx的图象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.

答案　A

1．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　C
解析　由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0，
2·＝0，
∴⊥，∴A＝90°.
又根据已知条件不能得到||＝||，
故△ABC一定是直角三角形．
2．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4 C. D．－
答案　B
解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，
即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，
由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.
3．(2016·南宁模拟)已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)且a∥b，则sin 2α等于(　　)
A．3 B．－3
C. D．－
答案　D
解析　由a∥b得cos α＋2sin α＝0，
∴cos α＝－2sin α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴5sin2α＝1，sin2α＝，cos2α＝，
sin 2α＝2sin αcos α＝－cos2α＝－.
4．(2016·武汉模拟)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　依题意得sin Acos B＋cos Asin B＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sin C＋cos C＝1,2sin(C＋)＝1，sin(C＋)＝.
又
5．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案　D
解析　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，
∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，
∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．
*6.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
答案　
解析　如图，向量α与β在单位圆O内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，故以向量α，β为两边的三角形的面积为，故β的终点在如图所示的线段AB上(α∥，且圆心O到AB的距离为)，因此夹角θ的取值范围为.

7．在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.
答案　－8
解析　设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，
由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2，
∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8.
8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______．
答案　
解析　∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b
＝4|a||b|cos ＝4>0，
∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，
∴|a－b|＝.
9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是__________．
答案　
解析　设a与b的夹角为θ.
∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx，
∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.
∵函数f(x)在R上有极值，
∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，
即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，
又∵|a|＝2|b|≠0，
∴cos θ＝＜＝，即cos θ＜，
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
*10.已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是________．
答案　6
解析　圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，
圆M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，
∵CM＝5＞2＋1，故两圆相离．
如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，

则·最小值是·，HC＝CM－1＝5－1＝4，HF＝HE＝＝＝2，
sin∠CHE＝＝，
∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝，
·＝||·||·cos∠EHF＝2×2×＝6.
11．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解　设M(x，y)为所求轨迹上任一点，
设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，
则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①
由＝－，得
(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝，
∴∴∴b＞0，y＞0，
把a＝－代入①，得－＋3y＝0，
整理得y＝x2(x≠0)．
∴动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0)．
12．已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m＝(2sin ，cos2)，n＝(cos ，－2)，m⊥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，cos B＝，求b的长．
解　(1)已知m⊥n，
所以m·n＝(2sin ，cos2)·(cos ，－2)
＝sin A－(cos A＋1)＝0，
即sin A－cos A＝1，即sin(A－)＝，
因为02,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求·的最值．
解　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由(＋)·(－)＝0，
得||2－||2＝0，
即(2－x)2＋(－y)2－(8－x)2＝0，
化简得＋＝1.
∴动点P在椭圆上，其轨迹方程为＋＝1.
(2)∵＝＋，＝＋，
且＋＝0.
∴·＝2－2＝(－x)2＋(1－y)2－1
＝16(1－)＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16
＝－(y＋3)2＋19.
∵－2≤y≤2.
∴当y＝－3时，·的最大值为19，
当y＝2时，·的最小值为12－4.
综上，·的最大值为19，最小值为12－4.

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