椭圆十二大题型精华总结(学生版).doc

椭圆十二大题型总结
一、 椭圆的定义和方程问题
(一) 定义
1. 命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2. 已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹是（ ）
A.椭圆B.圆C.直线D.线段
3. 已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( )
A.椭圆B.圆C.直线D.点
4. 椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心，则的值是 。
5. 选做：F1是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1），求的最小值。
(二) 标准方程求参数范围
1. 试讨论k的取值范围，使方程表示圆，椭圆，双曲线。

2. ( )
A.充分而不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限（ ）
A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 方程所表示的曲线是 。
5. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 。
(三) 待定系数法求椭圆的标准方程
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；
（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；
（3）已知椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过,求椭圆方程；

2. 求下列椭圆的标准方程
（1）；
（2）过（3，0）点，离心率为；
（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。
（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为
（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

3．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为 __。
(四) 椭圆系—共焦点，同离心率
1． 椭圆与的关系为（ ）
A．相同的焦点 B.有相同的准线 C.有相等的长、短轴 D.有相等的焦距
2、求与椭圆有相同焦点，且经过点的椭圆标准方程。

(五) 焦点三角形4a
1. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则 。
2. 已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长是 。
3. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为 。
(六) 焦点三角形的面积
1. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，，求点到轴的距离。

2. 设是椭圆上的一点，、为焦点，，求的面积。

3. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，若，则的面积为 。
4. 已知AB为经过椭圆的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积的最大值为 。
(七) 焦点三角形PF1∙PF2
1. 设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点，求的最大值，并求此时点的坐标。
2. 椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ， 。
3. 椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为 。
(八) 与椭圆相关的轨迹方程
定义法：
1. 点M(x,y)满足，求点M的轨迹方程。

2. 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程。

3. 已知圆,圆，动圆与外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程。

4. 已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为 .
5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC的周长为6，则△ABC 的顶点C的轨迹方程是 。
直接法
6. 若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积是，顶点的轨迹方程为 。
相关点法
7. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点在上，并且，求点M的轨迹。

8. 已知圆，从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程是 。
二、 直线和椭圆的位置关系
(一)判断位置关系
1． 当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。

2． 若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为 。
(二)弦长问题
1. 设椭圆的左右两个焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求的面积。

(三)点差法
定理：在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
1. 已知一直线与椭圆 相交于、两点,弦的中点坐标为，求直线AB的方程.

2. 直线l经过点A(1，2)，交椭圆于两点P1、P2，
（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程；
（2）求P1P2的中点的轨迹．

(四) 定值、定点问题
1、 已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 ， 求证：为定值.

2、 . 已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．
(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

3、 在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和．(1) 求轨迹的方程；(2) 当时，求与的关系，并证明直线过定点．

三、最值问题
1. 已知P为椭圆上任意一点，M（m，0）（m∈R），求PM的最小值。

2.在椭圆求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。

3. 设AB是过椭圆中心的弦，F1是椭圆的上焦点，
（1）若△ABF1面积为4，求直线AB的方程；（2）求△ABF1面积的最大值。

4. 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点，与椭圆相交于、两点．
（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值．

四、垂直关系
1.椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、。
(1) 若为等边三角形，求椭圆的方程；
(2) 若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程。

2. 如图，设椭圆的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l使得F为的垂心。若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

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