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高等代数的解题方法的研究

专业: 信息与计算科学

姓名: 何彩霞

指导老师: 陈丽

摘要: 本文介绍了行列式的几种计算技巧, 线性方程组解得讨论, 以及线性变换。任何一个n阶行列式都能够由它的定义去计算其值。但由定义可知, n阶行列式的展开式有n!项, 计算量很大, 一般情况下不用此法, 但如果行列式中有许多零元素, 可考虑此法。其实, 计算行列式并无固定的方法, 同一个行列式能够有多种不同的方法进行计算．因此, 除了掌握好行列式的基本性质外, 针对行列式的结构特点, 选取恰当的方法, 才能较快地解出其值。本文主要从理论浅析线性变换定义和线性变换性质与运算以及线性变换与矩阵的关系,并经过例子加深读者对其的印象.

关键词: 行列式, 线性方程组, 线性变换

引言
本文分三章, 即行列式的几种计算技巧、 线性方程组解得讨论及线性变换, 每章包括基本知识点和举例说明, 这些例题都是本文解题方法和技巧的高度概括的总结。关于行列式计算的问题, 本文用( 1) 化三角形法, ( 2) 降阶法, (3)升阶( 加边) 法, (4)分项( 拆开) 找递推公式, (5) 利用方阵特征值与行列式的关系五种方法来计算行列式。本文首先给出线性方程组( 齐次线性方程组和非齐次线性方程组) 表示式及矩阵的秩和线性方程组的基础解系的定义, 找出方程的解存在的条件及解的唯一性的条件与矩阵的秩的关系。进一步讨论有无穷解时怎样利用解空间、 基础解系找出方程组的解, 研究找出基础解系的方法。线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象, 我们要认识客观事物, 固然要弄清楚它们单个和总体的性质, 可是更重要的是研究它们之间的各种各样的关系.在线性空间中, 事物之间的联系就反映为线形空间的映射.线形空间到自身的映射一般称为的一个变换.这就有了线性变换, 本文所讨论的线性变换是最基本的一种变换, 线性变换是线性代数的一个主要研究对象。

第一章 行列式的几种计算技巧
降阶法、 升阶法、 分项递推法、 公式法等其它方法来变换行列式, 再经过我们熟悉的上三角形或下三角形计算其值。
下面介绍行列式计算的一些技巧:
1.1 化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上( 下) 三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上( 下) 三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式
例1: 计算行列式

经过观察, 从第1列开始, 每一列与它一列中有n-1个数是差1的, 根据行列式的性质 先从第n-1列开始乘以－1加到第n列, 第n-2列乘以－1加到第n-1列, 一直到第一列乘以－1加到第2列。
解:

1.2 降阶法
A、 利用行( 列) 初等变换。1) 交换两行( 列) ; 2) 某行( 列) 乘以k倍; 3) 某行( 列) 的k倍加到另一行( 列) 上去。
B、 看行和( 列和) , 如行和相等, 则均可加到某列上去, 然后提出一数。
C、 逐行相减( 加)
D、 找递推公式, 注意对称性。
E、 Laplace展开。
例2: 利用降阶法计算n阶行列式

解: 按第一列展开, 得
+( -1)
这里的第一个n-1阶行列式与有相同的形式, 把它记作; 第二个n-1阶行列式等于( -1) , 因此=x+a
这个式子对于任何n(2)都成立, 因此有=x+a=x(x+a)+a=x+ax+a=……
=x+ax+…+ax+a
但==x+a,因此
=x+ax+…+a
把行列式的计算归结为形式相同而阶数较低的行列式的计算, 是一个常见的方法。我们再用这个方法来计算一个常要用到的行列式。

1.3 升阶( 加边) 法
=
这里升阶是为了降阶, 在*处加上所需要的数, 即刻能够简化detA的计算, 用此方法时注意行列式阶数的变化。
例3:
解: 原行列式可化为
=
将第一行上的元素乘以( -1) 加到一下各行, 得

再将第2列起各列上的元素均加到第1列上去, 得

=1+a+a+…+a

1.4 分项( 拆开) 找递推公式
=+
其中( j=1,2,…, n) 为n维列向量。
例4: 计算行列式的值。
解: 把第一列的元素看成两项的和, 然后把行列式拆开得
+=+

=++=2+3=5

1.5 利用方阵特征值与行列式的关系。
为例。
解: =
=bI+=bI+
bI的n个特征值为b,b,…, b。
的n个特征值为0, 0, …, 0。
故的特征值为b+ 由矩阵特征值与对应行列式的关系知: D==b(+b)
[注]M的特征值也可由特征值的定义得到。
例11: 求行列式D=的值。
==3I+=3I+A
3I的4个特征值为3, 3, 3, 3.
A的4个特征值为10, 0, 0, 0.
故的特征值为13, 3, 3, 3, 由矩阵特征值与对应行列式的关系知: D==3(10+3)=351
综上所述, 针对行列式结构特点而采用与之相适应的计算技巧, 从而总结出了多种类型题目所适用的计算方法, 因此, 对于计算行列式的方法, 我们首先要熟练掌握并懂得如何选择、 运用, 不论是哪一种行列式的计算, 选取恰当的方法, 才能较快地解出其值。

第二章 线性方程组解的讨论
2.1、 消元法
在线性方程组这一章中, 我们讨论了一般线性方程组求解的问题。所谓一般线性方程组是指形式为
( 1.1)
的方程组, 其中代表n个未知量, s是方程的个数, (i=1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数, ( j=1,2,…,s) 称为常数项。我们解方程组( 1.1) 一般采用消元法。
在中学里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、 三元线性方程组, 分析一下不难看出, 它是经过对方程的不断变换, 达到化简消元的目的。而所作的变换无非由以下三种基本变换组成:
1． 用一非零的数乘某一方程
2． 把一个方程的倍数加到另一个方程
3． 互换两个方程的位置
这样的三个变换我们称之为线性方程组的初等变换。
事实上, 消元法求解线性方程组比用行列式解方程组更具有普遍性。下面就先来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。
对于方程组( 1.1) , 我们首先要讨论的系数。如果的系数,,…,全为零, 那么方程组( 1.1) 对没有任何限制, 也就是说, 能够取任意值。这样, 方程组( 1.1) 就能够看作的方程组来解。如果的系数不全为零, 不妨设, 为了消元化简, 分别地把第一个方程的倍加到第i个方程( i=2,…,s) 。于是方程组( 1.1) 就变成了
( 1.2)
其中, i=2,…,s, j=2,…,n
再对( 1.2) 中的第二个方程作如上初等变换, 并一步一步地作下去, 最后就得到一个阶梯形方程组。为了讨论方便, 不妨设方程组为
( 1.3)
其中, i=1,2,…,r
可见, 消元的过程的就是重复进行初等变换的过程, 实际上, 初等变换总是把方程组变成同解的方程组。因此, 我们经过一系列初等变换所得到的阶梯型方程组( 1.3) , 与方程组( 1.1) 的解相同。因此我们得到: 消元法是利用同解方程组的原理, 把线性方程组化简成阶梯形方程组, 再进行求解的方法。
现考察( 1.3) 的解的情况
<1> (1.3)中有方程, 而, 这时不论取任何值都不能使它成为等式, 因此( 1.3) 无解。
<2> 当是零或(1.3)中根本没有””的方程时, 分两种情况:
1) 。这时阶梯形方程组为
( 1.4)
其中, i=1,2,…,n. 由最后一个方程开始, 的值就能够逐个地唯一地确定了。此时, 方程组( 1.4) 也就是方程组( 1.1) 有唯一的解。
2) . 这时阶梯形方程组为

其中, i=1,2,…,r. 把它改写成
( 1.5)
由此可见, 任给一组值, 就唯一地定出的值, 也就是定出方程组( 1.5) 的一个解。由( 1.5) 我们能够把经过表示出来, 这样一组表示式称为方程组( 1.1) 的一般解, 而称为一组自由未知量。
以上就是用一般消元法解线性方程组的整个过程, 总体来说分两步, 第一步是经过一系列初等变换化线性方程组为阶梯形方程组, 第二步则是对方程组解的讨论。在了解并掌握了消元法之后, 进一步分析消元法的步骤和原理发现, 线性方程组这一章当中许多内容都能够由消元法的每一步来引入。

例1: 解非齐次线性方程组

解: A=→
得同解方程组为

取, , 为自由未知量, 即令= =, =
则方程的一般解为
=+++
其中=是原方程的特解, =, =, =为相应的齐次线性方程组的一个基础解系, 故通解能够表示为
=+ ( 是任意常数) 。

我们发现这种求通解的方法不简单, 下面我们来找出一个求通解的较简单方法:
由上面的探讨我们得到一个求( *) 的一个基础解系的简单方法是:
[ , ] →[ , p]
其中, 为满秩矩阵, r=r(A), P为n阶可逆阵, 则P的后n-r行即为( *) 的一个基础解系。
则类似的我们能够得出[, ] →[ , p]
其中, 为满秩矩阵, r=r(A)=r(), P为n+1阶可逆阵, 则取P前n行n列得矩阵M, M的后n-r行即为( *) 的一个基础解系; 取P的前n列得矩阵N, N的第n+1行即为( #) 的一个特解。

下面我们用此方法来解上述例题
解: →
→

于是=( -2 , 1 , 1 , 0 , 0)
=( -2 , 1 , 0, 1 , 0)
=( -2 , 1 , 0 , 0 , 1)
为相应的齐次线性方程组的一个基础解系,
=( -6 , 4 , 0 , 0 , 0) 为该非齐次线性方程组的一个特解,
故通解为 =+ ( 是任意常数) 。

第三章 浅谈线性变换
3.1线性变换的定义
定义1 线性空间的一个变换 A称为线性变换, 如果对于中任意的元素和数域中任意数, 都有
A()=A()+A(),
A()=A().
也能够把这两个式子统一, 线性空间的一个线性变换A称为线性变换, 如果对于中的任意、 β和数域中的任意数、 有
A+=A+A()
3.2 线性变换的性质和运算
设A是的线性变换, 则
A=, A-=-A.
证 因为
A-=A-1=-1A()=-A().
线性变换保持线性组合与线性关系式不变.
证 令
β=.
线性变换A作用两边有
A(β)=.
设A、 B是线性空间的两个线性变换, 它们的乘积

其它运算

B称为A的逆变换, 如果AB=BA=E, 记为, 是线性变换。
线性变换指数的法则:

当线性变换可逆时有

设

称为线性变换的A的多项式
3.3求线性变换A在一组基下的矩阵的解题方法
定义2 设是数域上维线形空间的一组基, A是中的一个线性变换, 基向量的像能够被基线性表出:

用矩阵乘法表示就是
A=
=
其中
=

矩阵称为A在基下的矩阵。
引出以上定义的有定理1
设线性空间中任意个向量, 存在唯一的线性变换A使

设是数域上维线性空间的一组基, 在这组基下, 每个线性变换按公式5对应一个矩阵, 这个对应具有以下性质:
1) 线性变换的和对应于矩阵的和;
2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积;
3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积;
4) 可逆线性变换与可逆矩阵对应, 且逆变换对应于逆矩阵;
注 线性变换A对应的秩为A的维数, 而V的维数=A的秩+A的零度, 故矩阵的秩应不大于的维数.

3.3.1 相似矩阵
定理2 设线性空间中线性变换A在两组基

下的矩阵分别为和, 从基到的过度矩阵是, 于是
=.
定义3 设,为数域上两个级矩阵, 如果能够找到数域上的级可逆矩阵, 使得=, 就说相似于, 记作相.
注 也就是说定理3中矩阵, 相似, 而且可逆.
相似矩阵具有以下性质:
1.反身性:相似;
2.对称性:如果相似, 那么相似;
3.传递性: 如果相似, 相似C, 那么相似.

3.3.2对角矩阵
定义4 设A是数域上空间的一个线性变换, 如果对于数域中的一个, 存在一个非零向量, 使得
A=.
那么称为A的一个特征值, 而称为A的属于特征值的一个特征向量.
定理3 设A是维线性空间的一个线性变换, A的矩阵能够在某组基下为对角矩阵的充分必要条件是, A有个线性无关的特征向量．
A在基下的矩阵形式:
=
定理4 如果是线性变换A的不同的特征值, 而是属于特征值的线性无关的特征向量, , 那么向量组也线性无关.
注 对于一个线性变换, 求出属于每个特征值的线性无关的特征向量, 把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数, 那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵.

定义5 设是数域上一级矩阵, 是一个文字, 矩阵的行列式
＝
称为A的特征多项式, 这是数域上的一个级多项式．
例1　设线性变换在基下的矩阵是
=,
求 由组成的特征向量, 及特征向量对应的对角矩阵.
解 因为特征多项式为
==.
因此特征值是-1( 二重) 与5.
把-1代入齐次方程组

得到

它的的基础解系是
,
因此, 属于-1的两个线性无关的特征向量就是

而属于-1的全部特征向量就是, 取遍数域中不全为零的数对.再把特征值5代入, 得

它的基础解系是

因此, 属于5的一个线性无关的特征向量就是
,
故线性变换A的特征值-1( 二重) 与5, 对应的特征向量是

由此可见, A在基的过度矩阵是
=
对在下的对角矩阵
==
例2 设三维线性空间上的线性变换在基下下的矩阵为

求在基下的矩阵;
求在基下的矩阵, 其中且
求在基下的矩阵.
解 因

故, 在基下的矩阵为

因

故在基下的矩阵为

因

故在基下的矩阵为

.
参考文献

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