《概率论与数理统计》期末考试试题及答案.doc

《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级： 姓名： 学号：
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得 分

一、单项选择题(每题3分 共18分)
1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B
（1）

（2）设随机变量X其概率分布为 X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4
则（ ）。
(A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D)

（3）
设事件与同时发生必导致事件发生，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）

（4）

（5）设为正态总体的一个简单随机样本，其中
未知，则（ ）是一个统计量。
(A) (B)
(C) (D)
（6）设样本来自总体未知。统计假设
为 则所用统计量为（ ）
(A) (B)
(C) (D)

二、 填空题(每空3分 共15分)
1. 2. , 3. 4.
（1）如果，则 .

（2）设随机变量的分布函数为

则的密度函数 ， .
（3）

（4）设总体和相互独立,且都服从，是来自总体的
样本，是来自总体的样本，则统计量
服从 分布（要求给出自由度）。
三、(6分) 设 相互独立，，，求.
解： 0.88=
= (因为相互独立)……..2分
= …………3分
则 ………….4分

…………6分

四、（6 分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在
运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。

解：用表示时刻运行的电梯数， 则~ ………...2分
所求概率 …………4分
=0.9919 ………….6分

五、（6分）设随机变量X的概率密度为 ，
求随机变量Y=2X+1的概率密度。

解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分

当时， ………….2分
由， 得 …………4分
从而的密度函数为 …………..5分
= …………..6分

六、（8分） 已知随机变量和的概率分布为

而且.
(1) 求随机变量和的联合分布;
(2)判断与是否相互独立?
解：因为，所以
(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出

-1 0 1

0

1

0
0

0

………….4分
(2) 因为
所以 与不相互独立
…………8分

七、（8分）设二维随机变量的联合密度函数为

求：（1）；（2）求的边缘密度。

解：（1） …………..2分
=

=[] ………….4分

（2） …………..6分
……………..8分

八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。
解： 因为 得 ………….2分
用表示出售一台设备的净盈利
…………3分
则
………..4分
所以
（元） ………..6分

九、（8分）设随机变量与的数学期望分别为和2，方差分别为1和4，而相关系数为，求。
解：已知
则 ……….4分
……….5分
……….6分
=12 …………..8分

十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数的值表示）.
解：用表示第户居民的用电量，则
………2分
则1000户居民的用电量为，由独立同分布中心极限定理
………3分
= ………4分
……….6分
= ………7分

十一、（7分）设是取自总体的一组样本值，的密度函数为

其中未知，求的最大似然估计。
解: 最大似然函数为
……….2分
= ……… .3分
则

………..4分
令 ………..5分
于是的最大似然估计：
。 ……….7分

十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为，长期以来方差 稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为，试求的置信水平为95%的置信区间。（ ）
解： 因为已知，且 …………1分
故 …………2分
依题意
则的置信水平为95%的置信区间为
…………4分
即为 [4.801,5.199] …………5分