人教版高数选修2-2第2讲：导数的计算(教师版).doc

导数的计算_ 一、几个常用函数的导数：1函数的导数 根据导数定义，因为所以函数导数表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态2函数的导数因为所以函数导数表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动3函数的导数因为所以函数导数表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为4函数的导数因为所以函数导数（2）推广：若，则二、基本初等函数的导数公式：函数导数2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点导数运算法则123推论： （常数与函数的积的导数，等于： ）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. 类型一：利用公式及运算法则求导数例1求下列函数的导数：（1）；（2）（3）；（4）y=2x33x2+5x4 解析：（1）.（2）.（3），.（4）总结升华：熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）； （2）（3）y=6x34x2+9x6【答案】（1）.（2）.（3）例2求下列各函数的导函数（1）；（2）y=x2sinx;（）y=；（）y=解析：（1）法一：去掉括号后求导.法二：利用两个函数乘积的求导法则 =2x(2x3)+(x2+1)2=6x26x+2（2）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx（）=（4）=举一反三：【变式1】函数在处的导数等于()A1B2C3D4【答案】D法一： .法二：.【变式2】下列函数的导数（1）；（2）【答案】（1）法一： 法二： =+ （2）【变式3】求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）.【答案】（1），.（2），.（3）， .类型二：复合函数的求导例3求下列函数导数.（1）；（2）；（3）；（4）.思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.解析：（1），. .（2）， （3），. （4）， .总结升华： 复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单； 求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.举一反三：【变式1】求下列函数的导数： (1)；（2）（3）y=ln（x）；（4）【答案】(1)令,（2）令 （3）=（4） 类型三：求曲线的切线方程例8求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.解析：，x=1时，y=3，切点为（1，3），切线斜率为5切线方程为y3=5(x1)，即y=5x2.总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤： 求出函数的导函数 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率）， 用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.解析：切线的斜率.切线方程为，即.【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是_.【答案】的导数为.设切点，则.的斜率，又切线平行于，切点，切线方程为，即.【变式3】已知曲线.（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【答案】（1）将代入曲线的方程得，切点.，.过点的切线方程为，即.（2）由可得，解得或.从而求得公共点为，或.切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.例9已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.解析：（1），直线的方程为.设直线过曲线上的点，则的方程为，即.因为，则有，.所以直线的方程为.（2）解方程组 得所以直线和的交点坐标为.、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，所以所求三角形的面积为.举一反三：【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程【答案】设切点坐标为切线在点的斜率为切线与直线平行， 斜率为4，或切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为_.【答案】由题意，切线的斜率为，切线方程为，与轴交点为，直线的交点为（2，4），.【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.【答案】由题意知， 曲线在（0，1）处的切线的斜率该切线方程为设的方程为，则，解得，或.当时，的方程为；当时，的方程为综上可知，的方程为或.双基自测1下列求导过程中；()；(logax)；(ax)(eln ax)(exln a)exln alnaaxlna其中正确的个数是()A1B2C3D4答案D2(人教A版教材习题改编)函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2)D3(x2a2)解析f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C3(2011湖南)曲线y在点M处的切线的斜率为()AB.CD.解析本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力y，把x代入得导数值为.答案B4(2011江西)若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，)B(1,0)(2，)C(2，)D(1,0)解析令f(x)2x20，利用数轴标根法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.故选C.答案C5如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_；_(用数字作答)答案22_基础巩固12011江西卷若f(x)x22x4lnx，则f(x)0的解集为()A(0，)B(1，0)(2，)C(2，)D(1，0)1C解析 f(x)2x20，即0.x0，(x2)(x1)0，x2.2曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x22A解析 y2，切线方程为y2x1.3若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b13A解析 y2xaa，a1，(0，b)在切线xy10上，b1.4y的导数是()AyByCy Dy4B解析 y.52012沈阳模拟 若函数yx21(0x2)的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是()A.B.C.D.5D解析 yx22x，当0x2时，1y0，即1tan0，故，的最小值为.6若曲线f(x)xsinx1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a等于()A2B1C1D26D解析 f(x)sinxxcosx，f1，即函数f(x)xsinx1在x处的切线的斜率是1，直线ax2y10的斜率是，所以11，解得a2.7等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26B29C212D2157C解析 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)，所以f(0)a1a2a8(a1a8)484212.8若曲线yx在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a()A64B32C16D88A解析 yx，所以ka，切线方程为yaa(xa)令x0，得ya；令y0，得x3a.所以三角形的面积是S3aaa18，解得a64.9已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A.B.C.D.9D解析 由于y，而为曲线在点P处的切线的倾斜角，则ktan0.又(ex1)2(2)24ex，当且仅当ex1，即x0时，取等号，那么ktan1，即1k0)的一条切线，则实数b_11ln21解析 y，令得x2，故切点(2，ln2)，代入直线方程，得ln22b，所以bln21.12曲线yx2过点4，的切线方程是_1214x4y490或2x4y10解析 设此切线方程与抛物线相切于点P（x0，x）.由导数的概念可得x0，整理得x8x070，解得x07或x01，点P（7，）或P（1，）.代入两点式得直线方程为14x4y490或2x4y10.13已知f(x)，则f(0)_131解析 f(x)2(e2x1)2e2x2，f(0)1.14(10分)求下列函数的导数：(1)ysincos；(2)ye12xln(3x)；(3)yln.14解：(1)ycossincossin2sin.(2)ye12x(12x)(3x)2e12x.(3)yln(1x)ln(1x)，y(1x)(1x).15设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值15解：(1)f(x)a，于是解得或因为a，bZ，故f(x)x.(2)证明：已知函数y1x，y2都是奇函数所以函数g(x)x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而f(x)x11，可知函数g(x)的图象按向量a(1，1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形(3)证明：在曲线上任取一点.由f(x0)1知，过此点的切线方程为y(xx0)令x1得y，切线与直线x1交点为.令yx得y2x01，切线与直线yx交点为(2x01，2x01)直线x1与直线yx的交点为(1，1)从而所围三角形的面积为|2x011|2x02|2.所以，所围三角形的面积为定值2.16用导数方法求和：12x3x2nxn1(x0，1，nN*)16解：逆用导数公式，把12x3x2nxn1转化为等比数列xn的前n项和的导数，求解和式的导数即可12x3x2nxn1x(x2)(x3)(xn)(xx2x3xn).16