优化配置问题(六年级).docx

知识图谱
应用题第06讲_优化配置问题-一、优化配置问题基础优化配置问题复杂优化配置
一：优化配置问题
知识精讲
根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案．
三点剖析
重难点：优化配置．
题模精讲
题模一 基础优化配置问题
例1.1.1、
在一个沙漠地带，汽车每天行驶250千米，每辆汽车最多可载行驶24天的汽油．现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成探测任务后，沿原路返回．那么通过合理安排，其中一辆车能探测的最远距离为_______千米．（两车均要回到出发点，车可以在途中停留）
答案：
4500
解析：
甲、乙同时出发，中途乙将自己的油给甲，将甲的油装满，然后在此地等甲返回．等甲回来的时候，给甲一些油，两人同时返回出发点．所以乙的汽油两份自己用，两份给甲用，即甲共有汽油可以行驶天．所以甲能探测的最远距离为千米．

例1.1.2、
一个边长为36千米的正方形环路，它的四个顶点处各有一辆汽车．这些汽车的最大时速分别为32千米、36千米、40千米、50千米．允许调整四辆车的初始位置，但必须保证每个环路四个顶点处各有一辆车．如果4辆车同时出发，开到环路上的某个地方集合，最少需要_______分钟．
答案：
72
解析：
必有两辆车合走了三条正方形的边才能到达相遇点，所以需要最少时间为小时，即72分钟．

例1.1.3、
4辆越野车组成的车队被困在沙漠中的一个绿洲，他们打算穿越沙漠，到达救援点．每辆越野车现在都装满了油，最多能行100千米，且他们没有多余的油了．由于沙漠太大，他们无法到达救援点，所以他们希望能让其中的一辆车到达救援点去求援，然后其他3辆车都返回绿洲等待救援，那么求援点距离绿洲最远是多少千米？
答案：

解析：
容易想到的方案是大家都先开到一个地点，然后一辆车给其他车加满油，它们留下恰好可以回到出发点的油；接着3辆车继续前进，开到一个地点时，其中一辆车给其他车加满油，它留下恰好可以回到出发点的油；剩余2辆车照做．假设4辆车分别为甲、乙、丙、丁．如图所示．

丁的油够丁走2个AC，同时给甲、乙、丙补充走AC所消耗的油，所以丁够走5个AC，所以AC距离是千米．
丙的油够丙走2个CD和1个AC，同时给甲、乙两车补充走CD所消耗的油，所以CD距离是千米．
乙的油够乙走2个DE和1个AC、1个CD，同时给甲车补充走DE所消耗的油，所以DE距离是千米．
甲最后满油再走一段EB，是100千米．
共行驶千米．
但是，这不是最优的方案，应让乙、丙、丁尽可能地少走一些路程，而这是可以再优化的．可以这样：丁给甲、乙、丙补充油料后先不急着返回，原地等乙、丙回来，乙、丙回到C时恰好没油了，这时丁给他们再油，最后正好三车同时回到绿洲，那么丁的油料共可以走7个AC，所以AC距离为千米．
同理，丙油料共可以走5个CD，所以CD距离为20千米；乙油料共可以走3个DE，所以DE距离为千米．甲最后再走100千米．甲共走了，比前面方案的160千米要长．
综上，求援点距离绿洲最远是千米．
（可以总结出一个式子：若每辆车加满油可以走S千米，那么最远的那辆车可以走 千米．但如果有要求说车辆返回途中不能停下等其他车，那么就得采用前面第一种讨论的方案了）

题模二 复杂优化配置
例1.2.1、
一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到驻地很远的指挥部．每辆摩托车装满油最多能行120千米，且途中没有加油站．由于一辆摩托车无法完成任务，队长决定派四辆摩托车执行任务，其中一辆摩托车负责把文件送到指挥部，另三辆则在中途供给油料后安全返回驻地．请问：指挥部距小分队驻地最远可能是多少千米？
答案：
192
解析：
不妨设甲送文件到指挥部，乙、丙、丁三车给甲供油．第一段由丁供油，然后丁返回；第二段由丙供油，然后丙返回；第三段由乙供油，然后乙返回．最后甲满油前进到指挥部．
如图所示，设能支持飞机飞行120千米为“1”份，可知丁的“1”份油支持甲、乙、丙、丁走过5个AC，那么AC的长度为千米．然后考虑丙的“1”份油支持甲、乙、丙走过4个CD段和丙单独走过1个AC段．可知，CD段的长度是千米．然后考虑，乙的“1”份油支持甲、乙走过3个DE段和乙单独走过1个AD段．可知DE段的长度是千米．然后甲加满油走过EB段120千米，此时AB的路程是千米．即指挥部距小分队驻地最远可能是192千米．

随堂练习
随练1.1、
有两辆性能相同的汽车，当邮箱装满了等量的汽油时，每辆车都最多行驶420千米．允许将一辆车的一部分或全部汽油转移到另一辆车里，不考虑转移过程中的损耗．请问：这两辆车加满后同时同地出发，要求一辆车能返回起点，另一辆车最远可以行驶多少千米？
答案：
560
解析：
设起点为A，甲回到出发点，乙开的尽量远至B．易知应让甲、乙开到某处（设为C）时甲把乙的油补满，且自己能回到起点，故甲的油可走3个AC，故千米．乙到C后油被补满，还可走420千米，故千米．

随练1.2、
某种小型飞机满油最多能飞行1500千米，但不够从A地飞到B地．如果从A地派3架这样的飞机，通过实现空中供给油料，可以使其中一架飞机飞到B地，另两架安全返回A地，那么A，B两地最远相距多少千米？
答案：
2250千米
解析：
设3架飞机分别为甲、乙、丙，让甲飞机飞到B地，乙、丙两架飞机给甲飞机供油．稍加分析，就可以知道以下的方案是最佳的：
甲、乙、丙同时起飞，中途C点的时候，丙将油分给甲和乙，使甲、乙满油前进，到达D点的时候，乙将自己的油分给甲，然后返回，使甲满油前进到B，如图所示．设能支持飞机飞行1500千米的油为“1”份，可知丙的“1”份油支持甲、乙、丙走过4个AC，那么AC的长度为千米．然后考虑，乙的“1”份油支持甲、乙走过3个CD段和乙单独走过1个AC段（返回时）．可知，CD段的长度是千米，然后甲满油走过DB为1500千米，此时AB的路程是千米，为AB的最远距离．

课后作业
作业1、
一个边长为4千米的正方形环路，它的四个顶点处各有一辆汽车，最大时速分别为10千米、10千米、40千米、40千米．允许调整四辆车的初始位置，但必须保证每个环路四个顶点处各有一辆车．如果4辆车同时出发，开到环路上的某个地方集合，最少需要多少分钟？
答案：
12
解析：
相遇时，两辆时速10千米的车的路程和最少是4千米，所以相遇最少需小时，即12分钟．

作业2、
一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到距驻地很远的指挥部．每辆摩托车装满油最多能行150千米，且途中没有加油站．由于一辆摩托车无法完成任务，队长决定派两辆摩托车执行任务，其中一辆摩托车负责把文件送到指挥部，另一辆则在中途供给油料后安全返回驻地．请问：指挥部距小分队驻地最远可能是__________千米．
答案：
200千米
解析：
假设这两辆车分别为A车和B车，A车负责把文件送到指挥部，很明显，让A车走的最远的方案是两辆车都走50千米后，B车把自己的油给A车加满，然后B车刚好返回驻地，A车继续走150千米，所以指挥部距小分队驻地最远可能是千米．

作业3、
甲乙两位探险者要到沙漠深处探险，他们每天可走30千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如果允许将部分食物存放在途中，那么一个人最多可以走入沙漠多少千米？
答案：
600千米
解析：
两人一起出发．8天后两人都只剩16天的食物．存16天的食物后一起返回．第二次出发到12天处，B分给A8天的食物，独自返回到8天处，取8天的食物后返回．这时A有食物天．A继续前进8天后返回．最远可以深入沙漠千米．

作业4、
一名探险者准备穿过80千米的沙漠，他一天能走20千米，最多可以携带够3天用的食物和水．因此，他必须在途中建立一个中转站（建中转站的时间忽略不计），补充后几天所需要的食物和水，这个探险者最快得走几天才能穿过这个沙漠？
答案：
6
解析：
显然中转站最多离终点千米，故起点至中转站至少为千米．易知起点至中转站至少走3趟，因此理论上最快需天．而6天是可以达到的：中转站建在距起点20千米处，第一次在中转站留下1天的物品后返回（共3天），第二次到中转站（1天）后取走1天的物品（此时身上有3天的物品），再走3天穿过沙漠，共6天．

作业5、
甲乙两辆汽车同时从同一地点A出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240升汽油，途中不能再加油．每一辆车用1升油可以行使12km，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可以借对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点A，并求出这辆车一共行驶了多少千米？
答案：
4320
解析：
设甲车行驶得较远，一共行驶了x千米，乙车行驶了y千米．则，两式相加即可得出，即甲车最多可行驶4320千米．
当时，，即甲开至离A点2160千米处，乙车开至离A点720千米处．一个具体的方案是：两车行驶了720千米后，甲乙两车均剩下180升汽油，乙车借给甲车60升汽油，并在此地等着，甲车继续前行1440千米后返回，碰到乙车时再借60升汽油，然后两车都回到出发地点A．