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1、小学数学各模块知识 一、数和数的运算 （一）数的认识 整数的含义：像…-3，-1，0，1，2，3，…这样的数统称整数。 正数和负数的含义：像1，+5，6，…这样的数叫做正数；像-3，-2，-9，…这样的数叫做负数。 占位 0是最小的自然数，0是偶数，0的作用 表示起点 表示界线 自然数 1 是最小的一位数，是自然数的基本单位；1既不是质数，也不是合数。 数的意义： 是整数的一部分，可表示基数也可以表示序数 意义：把单位“1”平均分成若干份，表
2、示这样一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数就是分数单位 分数 真分数——分子比分母小（小于1） 分类： 假分数——分子大于或等于分母（大于或等于1） 带分数——分子比分母大（大于1） 意义：把整体“1平均”分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份 是十分之几，百分之几，千分之几……可以用小数表示 有限小数 按小数部分分 无限不循环小数 小数 无限小数 纯
3、循环小数 分类 纯小数 循环小数 按整数部分分 混循环小数 带小数 整数和小数数位顺序表 整数部分 小数部分 … 亿级 万级 个级 数位 … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 十分位 百分位 千分位 万分位 … 计数单位 … 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十
4、 一 十分之一 百分之一 千分之一 万分之一 … 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。（百分率或百分比） 折扣*：商业用名词，几折就是十分之几，成数，几成就是百之几十。 注意：百分数、折扣只表示两个数的倍比关系，而分数除倍比关系外还可以表示具体数量。 数的读写： 1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每级末尾的0都不读，其他数位连续有几个0都只读一个0。 2、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 3、小数的读写：整数部分按整数来读（写），小数点读作“点”，小数部分依次
5、读（写）出每一位上的数字。 数的改写 写成用“万”或“亿”作单位的数 1、多位数的改写和省略： 省略“万”或“亿”位后面的尾数 2、分数、小数、百分数的互化 改写成分母是10、100、1000…的分数再约分 小数 分数 用分子除以分母 小数点向右移动两位，同时添上% 小数 百分数 去掉%，小数点向左移动两位 写
6、成分数形式并约分 百分数 分数 先写成小数，再写成百分数 数的大小比较： 1、整数的大小比较：先看位数，位数多的数大：位数相同，从高位看起相同数位上的数大的那个数就大 2、小数大小的比较：先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同就看小数部分从高位看起，依数位比较 3、分数大小比较：分母相同分子大的分数大；分子相同分母小的分数大；分母不同，先通分再比较。 数的基本性质： 1、分数的
7、基本性质：分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 2、小数的基本性质：小数的末尾添“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。 （二）数的整除 定义：（小学阶段研究“数的整除”时所说的数一般指非0自然数） 数a除以b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a）。 倍数 公倍数 最小公倍数 整除 因数 公因数 最大公因数 质数 合数 互质数
8、 质因数 分解质因数 2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8。 偶数 奇数（能被2整数的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。） 3的倍数的特征：各位上的数的和是3的倍数 5的倍数的特征：个位上是0或者5的数。 （三）数的运算 1、四则运算的意义 数的 分类 运算名称 整数 小数 分数 加法 把两个数合并成一个数的运算。 减法 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 乘法 求几个相同加数的和的简便运算。 小数乘整数与整数乘法意义
9、相同。 分数乘整数与整数乘法意义相同。 一个数乘小数，就是求这个数的十分之几，百分之几…是多少。 一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。 除法 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2、四则运算的法则 整数 小数 分数 加减 相同数位对齐，从低位算起 加法：满十就向前一位进一 减法：不够减就从前一位退，退一当十 小数点对齐，从低位算起，按整数加减法进行计算，结果中的小数点和加减的数的小数点对齐。 1、同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。 2、异分母分数相加减，先通分，然后再按同分母分数相加减的方法计算。 3、结果能约分的要约分。
10、 乘法 1、从个位乘起，依次用第二个因数每一位上的数去乘第一个因数。 2、用第二个因数哪一位上的数去乘，得数的末位就和第二个因数的哪一位对齐。 3、再把几次乘得的数加起来。 1、按整数乘法法则算出积。 2、看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 1、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 2、有整数的把整数看作分母是1的假分数。 3、有带分数的，通常先把带分数化成假分数。 除法 除数是整数：从被除数的高位除起，除数是几位就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位，除到哪一位就要把商写在哪一位的上面。商的小数点和被除数的小数点对齐。
11、 除数是小数：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补0），然后按照除数是整数的除法进行计算。 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。 3、四则运算各部分的关系： 加法 加数+加数=和 被减数—减数=差 一个加数=和—另一个加数 减法 被减数=减数+差 减数=被减数—差 乘法 因数×因数=积 被除数÷除数=商 一个因数=积÷另一个因数 除法 被除数=商×除数
12、 除数=被除数÷商 4、运算定律和运算性质 加法交换律 : a+b=b+a 加法结合律 : (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 : a×b=b×a 乘法结合律 : （a×b）×c=a×(b×c) 乘法分配律 : (a+b)×c=a×c+b×c 减法的运算性质: a-b-c=a-(b+c) 除法的运算性质: a÷(b×c)=a÷b÷c 5、四则运算的顺序： 在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两
13、级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。 有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。 二、代数的初步知识 （一）简易方程 1、用字母表示数： （1） 用字母可以表示我们学过的自然数、整数、小数、百分数…… （2） 用含有字母的式子，可以简明地表达数学概念、运算定律和数学计算公式。还可以简明地表达数量关系。 2、简易方程 （1） 等式：表示相等关系的式子。 （2） 方程：含有未知数的等式。 （3） 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 （4） 解方程：求方程的解的过程。 （5） 解方程的依据：等式的基本性质（天平平衡的道理）
14、 （二）比和比例： 1、 比和比例的意义与性质 比 比例 意义 两个数相除又叫做两个数的比 表示两个比相等的式子叫做比例 基本 性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变。 在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 2、 比、分数与除法的关系 比 比号 前项 后项 比值 分数 分数线 分子 分母 分数值 除法 除号 被除数 除数 商 3、 求比值和化简比的区别与联系 一般方法 结果 求比值 根据比值的意义，用前项除以后项。 是一个商，可以是整数，小数或分数。 化简比 根据比的基本性质，把比的前项和
15、后项同时乘上或同时除以相同的数（0除外）。 是一个比 ，它的前项和后项都是整数。 4、 比例尺 图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 5、正比例和反比例的区别与联系 相同点 不同点 特征 关系式 正比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 两种量中相对应的两个数的比值一定。 反比例关系 两种量中相对应的两个数的积一定。 ху=k （一定） 三、应用题 （一） 一般复合应用题 1、一般复合应用题的解法 （1）分析法：从问题入手，逐步分析题里的已知条件。 （2）综合法：从应用题的已知条件入手，逐步推出未知。
16、 （3）分析综合法：将分析法、综合法结合起来交替使用的方法。当已知条件中有明显计算过程时就用综合法顺推，遇到困难时再转向原题所提的问题用分析法帮忙，逆推几步，顺推和逆推联系上了，问题便解决了。 2、一般复合应用题的解题步骤： （1）审清题意，并找出已知条件和所求问题； （2）分析题目里的数量间的关系，从而确定先算什么，再算什么，最后算什么； （3）列式，算出结果； （4）进行检验，写出答案。 （二）典型应用题（有一定解答规律的应用题） 1、求平均数问题 （1） 求平均数问题的特点：把各“部分量”合并为“总量”，然后按“总份数”平均，求其中一份是多少。 （2） 求
17、平均数问题的解题规律：关键是先求出“总量”和“总份数”，然后用“总量÷总份数=平均数”，特殊情况可用“移多补少法”解答。 2、归一应用题 （1） 归一应用的特点：从已知条件中求出“单一量”，再以“单一量”为标准去计算所求的量。归一问题通常分为正归一和反归一。 （2） 归一问题的解题规律：首先求出一个单位数量，然后以这个“单位量”为标准，根据题目的要求，用乘法算出若干个“单位量”是多少，这是正归一的解题规律。或用除法算出总量包含多少个“单位量”，这是反归一的解题规律。归一问题还可以用倍比问题的解题方法求解。 3、相遇问题 （1）特点：A、两个运动物体；B、运动方向相向；C、运动时间
18、同时。 （2）解题规律：速度和×相遇时间=路程 路程 ÷速度和=相遇时间 路程 ÷相遇时间=速度和 （三）分数、百分数应用题 1、分数乘法应用题 已知一个数，求它的几分之几（百分之几）是多少，用乘法。即：“一个数×几分之几（百分之几）”。 已知条件：表示单位“1”的量；单位“1”的几分之几（或百分之几）（又称：分率） 特征： 所求问题：求单位“1”的几分之几（百分之几）是多少（又称：部分量） 用等式表示三量的关系：单位“1”的量×分率=部分量 对应关系
19、2、分数除法应用题 （1）已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数，用除法。即“多少÷几分之几” 已知条件：单位“1”的几分之几（分率）； 特征 单位“1”的几分之几是多少（部分量） 所求问题：单位“1”的量 用等式表示三量的关系：部分量÷分率=单位“1”的量 对应关系 （2）求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）用除法。即“一个数÷另一个数”。 已知条件：表示单位“1”的量；单位“1”的几分之几是多少（部分量） 特征 所求问题：求
20、部分量是单位“1”的几分之几（百分之几） 用等式表示三量的关系：部分量÷单位“1”的量=分率 3、工程问题的应用题 把工作总量用“1”表示，工作效率用单位时间内做工作总量的“几分之一”表示。根据工作总量与工作效率，就能求出合作完成的工作时间。 三量之间的关系式：工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间= 工作效率 （四）列方程解应用题 1、列方程解应用题的思考方法：用字母代替应用题中的未知数，根据数量间的相等关系列方程，解方程。 2、列方程解应用题的一般步骤 （
21、1）弄清题意，找出未知数并用X表示。 （2）找出数量间的相等关系，列出方程。 （3）解方程。 （4）检验并答。 （五）比和比例应用题 比和比例应用题包括：比例尺、按比例分配、和正反比例应用题。 1、比例尺中解题关系式：图上距离∶实际距离=比例尺 2、按比例分配应用题 ：要分配的总量×各部分量的分率=各部分量。 3、正比例 у/χ=X/Y 反比例χу=XY（正、反比例应用题已删去） 四、量与计量 （一）量、计量和计量单位的意义 事物的多少、长短、大小、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的特征叫做量。把一个要测定的量同一个作
22、为标准的量相比较叫做计量。用来作为计量标准的量叫做计量单位。 （二）常用的计量单位及其进率 1、长度、面积、地积、体积、容积、重量单位及其进率 长度 1千米（km）=1000米(m) 1米(m) =10分米 (dm) 1分米(dm)=10厘米(cm) 1厘米(cm)=10毫米(mm) 1平方千米=1000000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 地积 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 体积 1立方米=1000立方分
23、米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米 容积 1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克 2、常用时间单位及其关系 世纪 年 月 日 时 分 秒 100 12 24 60 60 每月31天的有1、3、5、7、8、10、12各月；每月30天的有4、6、9、11各月；平年全年365天，平年二月28天；闰年全年366天，闰年二月29天。 3、人民币：1元＝10角 1角＝10分 （三）同类计量单位之间的转化
24、 （化法）乘以进率 高级单位的数 低级单位的数 （化法）除以进率 五、空间与图形 （一）平面图形的认识和计算 1、线 线段：用直尺把两点连接起来就得到一条线段。 线段的长就是这两点间的距离。（有两个端点） 直线：把线段的两端无限延 平行线：在同一平面内不相交的两条直线,叫做 线 长可以得到一条直线 平行线。 （没有端点） 垂线：两条直线相交成直角,这两条直线叫做互
25、 相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线。 射线：把线段的一端无限延长可以得到一条射线。（有一个端点） 2、角：从一点引出两条射线所组成的图形 锐角：小于90度的角 直角：等于90度的角 角 钝角：大于90度而小于180度的角 平角：180度的角 周角：360度的角 3、平面图形 （1）三角形：由三条线段首尾相互连接围成的图形
26、 锐角三角形：三个角都是锐角 按角分 直角三角形：有一个角是直角 钝角三角形：有一个角是钝角 三角形 等腰三角形：两条边相等 按边分 等边三角形：三条边相等 不等边三角形：三条边都不相等 （2）四边形：由四条线段首尾依次连接围成的图形。 扇形 平行四边形 长方形 正方形 （3）圆形 四边形 环形 直角梯形 梯形 等腰梯形 （画线段、画角、画高、量线段、画垂线、画圆、画对称轴）
27、 （4）特征及周长、面积计算公式： 名称 图形 字母意义 特 征 周长面积公式 正方形 a a：边长 四条边都相等，四个角都是直角 C=4a S=a² 长方形 b a a：长 b：宽 对边相等，四个角都是直角 C=2(a+b) S=ab 平行四 边形 h a a：底 h：高 两组对边分别平行且相等 S=ah 三角形 h a a：底 h：高 有三条边，三个角，内角的和是180度 S=ah÷2 梯形 a
28、 h b a：上底 b：下底 h：高 只有一组对边平行 S=(a+b)h÷2 圆 d r d：直径 r：半径 同圆内半径相等，直径相等，直径是半径的2倍 C=πd=2πr S=πr² (二)立体图形的认识和计算 1、长方体与正方体特征的区别与联系 特征 名称 相同点 不同点 面 棱 顶点 面的特点 棱长 长方体 6个 12条 8 个 6个面一般都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等 每组（有3组，分别叫长、宽、高）互相平行的4条棱相等 正
29、方体 6个 12条 8 个 6个面都是相等的正方形 12条棱都相等 2、圆柱、圆锥的特征 名称 图形 特征 圆 柱 上、下底面是面积相等的圆，两个底面之间的距离叫做高。侧面沿高展开是长方形（或正方形）。有无数条高 圆 锥 底面是圆形，顶点到底面圆心的距离叫做高。只有一条高。 3、立体图形的表面积和体积的计算公式 名称 图形 字母意义 表面积s ， 体积v 正方体 a：棱长 S=6a² V=a³ 长方体 a：长 b：宽 h：高 S=(ab+ah+bh)x 2
30、 V=abh 圆柱体 r：底面半径 h：高 c：底面周长 S侧=ch=πdh =2πrh S表=S侧 +2S底面 V=sh=πr²h 圆锥体 r：底面半径 h：高 V=sh÷3 =πr²h÷3 六、统计与可能性 一、平均数、中位数、众数 （一）、相同点 平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。 （二)、不同点 它们之间的区别，主要表现在以下方面。 1、
31、定义不同 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 2、求法不同 平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。 中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。 众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。 3、个数不同 在一组数
32、据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。 4、呈现不同 平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据。 中位数：是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据有奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等，此时的中位数就是一个虚拟的数。 众 数：是一组数据中的原数据 ，它是真实存在的。 5、代表不同 平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
33、 中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。 众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。 这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。 6、特点不同 平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。 中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。 众数：与数据出现的次数
34、有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。 7、作用不同 平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。 中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。
35、 众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。 单式统计表 二、统计表 复式统计表 百分数统计表 统计表包括：总标题、纵栏标题、横栏标题、数据资料栏、数量单位、制表日期 条形统计图（单式、复式） 统计图 折线统计图（单式、复式） 扇形统计图 三、统计图的制法与特点 制法 特点 条形 统计图 1、 整理数据，画出横、
36、纵轴，单位长度表示一定的数量2、根据数量多少画直条 3、写名称、制表日期、图例 很容易看出数量的多少 折线 统计图 1、 整理数据，画出横、纵轴，单位长度表示一定的数量 2、 根据数量多少描点，再把各点用线段顺次连接起来。 3、 写名称、制表日期、图例 不但可表示数量的多少，而且能够表示数量的增减变化 扇形 统计图 1、计算各部分占总数的百分比，再算出与各部分所对应的扇形的圆心角的度数。2、取适当半径画圆，用量角器量出各扇形的圆心角，作扇形。3、注明各扇形表示内容和所占百分比，并用不同的标记加以区别，4、写上标题及制图日期。 清楚的表示出各部分与总数及部分与部分的关系 12
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