2012-2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案.doc

2012-2013学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 9 of 9
北 京 交 通 大 学
2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）
参 考 答 案
某些标准正态分布的数值

其中是标准正态分布的分布函数．
一．（本题满分5分）
口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率．
解：
设“取出4个球，最小号码是5”．
10个球取出4个球，有取法种．………….2分
若最小号码是5，有取法种，因此
．………….3分
二．（本题满分5分）
一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率．
解：
设“5位同学至少有两位的生日在同一月份”．
5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有种可能．………….2分
考虑的逆事件，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的．
则 ．………….3分
三．（本题满分8分），
已知男人中的是色盲患者，女人中色盲患者占，今从男女比例为的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：
设“任选一人为男性”，“任选一人是色盲患者”．
所求概率为．由Bayes公式，得
………….3分
．………….5分
四．（本题满分8分）
在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是，和，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内
⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分）
⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率．（4分）
解：
设，，．则
⑴ …….2分
．………….2分
⑵ …………2分

．…….2分
五．（本题满分8分）
试确定常数，，，的值，使得函数

为一连续型随机变量的分布函数．
解：
因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此函数在分段点及处连续，所以有
，即有．………….2分
，即有．………….2分
又分布函数必须满足：，．
因而有
，．………….2分
由此得方程组 ，解此方程组，得
．………….2分
六．（本题满分8分）
某地区成年男子的体重（以计）服从正态分布．若已知
，，
⑴ 求与的值；
⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过的概率．
解：
⑴ 由已知，
………….2分
得 ．即 ，
查正态分布表，得 ，解方程组，得，．………….2分
⑵ 设“从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过”．则

．………….2分
设：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过的人数．
则 ．
设“5人中至少有两人的体重超过．
则
．
（已知，）………….2分
七．（本题满分8分）
设二维随机变量的联合密度函数为

求：随机变量的边缘密度函数．
解：
当时，
………….3分
．…….3分
所以，随机变量的边缘密度函数为
．………….2分
八．（本题满分10分）
设是个独立同分布的随机变量，服从参数为的指数分布．令
，
求随机变量的密度函数．
解：
对于任意的实数，随机变量的分布函数为

…………………….2分

．………….3分
所以，随机变量的密度函数为
． ………….2分
如果服从参数为的指数分布，则的密度函数为
．
分布函数为
．………….1分
因此此时的密度函数为
，．………….2分
九．（本题满分8分）
设随机向量间的相关系数分别为，且，
，．
令：，,．证明：两两不相关的充要条件为
．
证明：
充分性：如果，则有．而

………….3分
这说明随机变量与不相关．
同理可得 ，，这就证明了随机变量两两不相关． ………….1分
必要性：如果随机变量两两不相关，则有
，，
而由上面的计算，得
， ………….3分
由于，所以，即． ………….1分
十．（本题满分8分）
设总体的密度函数为

是从中抽取的一个样本，与分别表示样本均值与样本方差．求，，．
解：
因为
，
，
所以，．
所以，，………….2分
，………….3分
．………….3分
十一．（本题满分8分）
（一定要强调相互独立！！） 设总体，是取自该总体中的一个样本．求系数、、，使得统计量

服从分布，并求出自由度．
解：
因为是取自总体中的简单随机样本，所以
，
而且相互独立．所以(Y1,Y2,Y3也相互独立)
，，．…….2分
所以，
，，．…….2分
因此，
．…….2分
因此，当时，统计量
，
自由度为3．………….2分
十二．（本题满分8分）
一家有间客房的旅馆的每间客房装有一台（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为．求需要多少电力，才能有的可能性保证有足够的电力使用空调机．
解：
设：该旅馆开房数目，则．………….2分
：向该旅馆供应的电力．则若电力足够使用空调机，当且仅当．因此
．
由题设，，………….3分
查表，得 ，………….1分
所以有 ．
即至少向该旅馆供电千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用．………….2分
十三．（本题满分8分）
设总体的密度函数为
．
其中是已知常数，而是未知参数．是从该总体中抽取的一个样本，试求参数的最大似然估计量．
解：
似然函数为
………….2分
所以，．
所以，．………….2分
令：，即，………….2分
得到似然函数的唯一驻点．
所以参数的最大似然估计量为．………….2分

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