九年级数学二次函数知识点总结及经典例题.doc

二次函数知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2. 的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3. 的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
六、二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式（交点式）：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为0对称轴为y轴）
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
九、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数的顶点坐标是( )
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）
2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（　　　）
Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3　
6. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（　 ）
A．第一象限　　　B．第二象限
C．第三象限　　 D．第四象限
7.方程的正根的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-10),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. B.
C. 或 D. 或

二、填空题
9．二次函数的对称轴是，则_______。
10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。
12．抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为
13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是　　 (π取3.14).　　　　

三、解答题：
第15题图
15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

二次函数应用题训练
1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0≤x≤30).
（1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？

（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？

2、如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.
问矩形DEFG的最大面积是多少?

3、如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大?最大面积是多少?

4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.

5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

二次函数专题复习 图像特征与a、b、c、△符号的关系
1、已知二次函数，如图所示，若，，那么它的图象大致是 （ ）
y y y y

x x x x
A B C D
2、已知二次函数的图象如图所示，则点在 （　 ）
A．第一象限　　　B．第二象限
y
x
0

C．第三象限　　 D．第四象限
3、已知二次函数的图象如下，
则下列结论正确的是 （ ）
A B

C D
4、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；③b2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6、二次函数的图象如图所示，则（ ）
A、， B、，
C、， D、，
7、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（　　）
A、ac＜0 B、a-b+c＞0 C、b=-4a
D、关于x的方程ax+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5
8、已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b-4ac＞0；
②abc＞0；
③8a+c＞0；
④9a+3b+c＜0
其中，正确结论的个数是（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4

二次函数对应练习试题参考答案
一，选择题、
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C
二、填空题、
9． 10．＜-3 11．如等（答案不唯一）
12．1 13．-8 7 14．15
三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为,由题意可得

解得 所以

(2)或-5 (2)
16．（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．
17．（1）直线与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则解得
所以此抛物线解析式为．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与轴的另一个交点C（－1，0）.设P，则.化简得
当＞0时，得 ∴P（4，5或P（－2，5）
当＜0时，即，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．
18．（1）=60（吨）．（2），化简得： ．（3）．
红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额来说，
当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．

二次函数应用题训练参考答案
1、 （1）0≤x≤13，13＜x≤30；（2）59；（3）13.
2、过A作AM⊥BC于M,交DG于N,则AM==16cm.
设DE=xcm,S矩形=ycm2,则由△ADG∽△ABC,
故,即,故DG=(16-x).
∴y=DG·DE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96,
从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.
3、设第t秒时,△PBQ的面积为ycm2.则∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm;
又BQ=2t.∴y=PB·BQ=(6-t)·2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9,
当t=3时,y有最大值9.
故第3秒钟时△PBQ的面积最大,最大值是9cm2.
4、解：(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.
由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).

∴抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为
h+1.8+0.25=(h+2.05) m,
∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5,
∴h=0.2(m).
5、解：(1)依题意得
鸡场面积y=－
∵y=－x2+x=(x2－50x)
=－(x－25)2+,
∴当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25 m时，其面积最大为m2.
(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为m.
∴y=·x=－x2+x
=－(x2－50x) =－(x－25)2+,
当x=25时，y最大=,
即鸡场的长度为25 m时，鸡场面积为 m2.
结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.
6、解：(1)y=－2x2+180x－2800.
(2)y=－2x2+180x－2800
=－2(x2－90x)－2800
=－2(x－45)2+1250.
当x=45时，=1250.
∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.