几道超难的初中数学题.doc

1．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，
交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
图1
A
B
x
y
O
D
C
图2
A
B
x
y
O
D
C
P
Q
E
F
图3
A
B
x
y
O
D
C

2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.

F
M
N
N1
M1
F1
O
y
x
l
 第4题图
4．如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．
⑴求b的值．
⑵求x1•x2的值
⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．
A
A1
A
C
C
C
A1
A1
A
D
B1
B
B
B
B1
B1
E
P
图1
图2
图3

(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；
【证】

(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；
【证】

(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．
A
B
C
D
l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3
6．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)．
(1)求证：h1＝h2；
【证】

(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h12；
【证】

(3)若h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况．
【解】

O
y
x
3
5
－5
－3
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m―3)x―3(m＞0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求点A的坐标；
(2)当∠ABC＝45°时，求m的值；
(3)已知一次函数y＝kx＋b，点P(n，0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋(m―3)x―3(m＞0)的图象于N．若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．

8．在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
(1)在图1中，证明：CE＝CF；
(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；
(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．
B
B
A
D
A
D
C
C
E
F
E
G
F
A
B
C
D
E
G
F
图1
图2
图3

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段)．已知A(－1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．
(1)求两条射线AE、BF所在直线的距离；
(2)当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；
当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；
E
A
D
F
O
B
x
y
(3)已知□AMPQ(四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．

10．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．
B
B
C
A
D
O
A
D
C
E
O
图2
图1

A
B
D
C
E
F
图3
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形(如图2)．
请你回答：图2中△BDE的面积等于____________．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF
的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；
(2)若△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为
三边长的三角形的面积等于_______．
11．如图，⊙O的直径为，⊙O 1过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与⊙O 1交于点，且．点在上，且，BE的延长线与⊙O 1交于点，求证：△BOC∽△．

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6求CF的长。

13．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，求△DMN的面积

O
C
第14题
A
B
x
y

14．如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、
B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，
使△PAB的面积等于△ABC的面积，
若存在，求出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．

A
B
C
D
M
N
P
Q
15.已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D—A—B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC与P，交BD于点Q．
（1）点D到BC的距离为 ；
（2）求出t为何值时，QM∥AB；
（3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形．

16.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（第16题）
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.

17.如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转（00<<900）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。

18.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

20.已知抛物线的图象向上平移m个单位（）得到的新抛物线过点（1，8）.
（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式；
（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在≤时对应的函数值y的取值范围；
（3）设一次函数，问是否存在正整数使得（2）中函数的函数值时，对应的x的值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

21.已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数
y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
图1

22.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1 图2 备用图

23．如图（1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).
试探究线段EF与EG的数量关系.

(1) 如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是
证明:
(2) 如图（3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是
证明
(3) 如图（1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是
(写出关系式,不必证明)

24.已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图（1）,设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；
②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S的最大值。

25在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得．记旋转角为为．
（Ⅰ）如图①，当旋转后点恰好落在边上时，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，当旋转后满足轴时，求与之间的数量关系；
（Ⅲ）当旋转后满足时，求直线的解析式（直接写出结果即可）．

26.已知抛物线，点．
（Ⅰ）求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）①若抛物线与轴的交点为，连接，并延长交抛物线于点，求证；
②取抛物线上任意一点，连接，并延长交抛物线于点，试判断是否成立？请说明理由；
（Ⅲ）将抛物线作适当的平移，得抛物线，若时，恒成立，求的最大值．

27.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC= ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧。设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t ,使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

28.如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。
⑴求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
⑵当△APD是等腰三角形时，求m的值；
⑶设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动。请直接写出点H所经过的路径长。（不必写解答过程）
A
O
C
P

B
D
M
x
y
A
O
C
P
B
D
M
x
y
（第24题图）
图1
图2
E

1、解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)2＋4，依题意，将点B（3，0）代入，得：
a(3－1)2＋4＝0
解得：a＝－1
∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)2＋4，得
y＝－(2－1)2＋4＝3
∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
E
F
图6
A
B
x
y
O
D
C

Q
I
G
H
P
∴当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0时，y＝1
∴点F坐标为（0，1）
∴………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，－1）
图7
A
B
x
y
O
D
C
M
T
N
∴………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0），
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
DF＋EI＝
∴四边形DFHG的周长最小为。
（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，
即：MD2＝NM×BD………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴
再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4
∴
∵MD2＝OD2＋OM2＝a2＋9，
∴⑤式可写成： a2＋9＝×
解得：
a＝或a＝3（不合题意，舍去）
∴点M的坐标为（，0）
又∵点T在抛物线y＝－(x－1)2＋4图像上，
∴当x＝时，y＝
∴点T的坐标为（，）
2.（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t.
又∵AE=t，∴AE=DF.…………………………………………………………………………2分
（2）能.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.…………………………………………………3分
∵AB=BC·tan30°=

若使为菱形，则需
即当时，四边形AEFD为菱形.……………………………………………………5分
（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，.………………7分
②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°.
即…………………………………………………………………………9分
③∠EFD=90°时，此种情况不存在.
综上所述，当或4时，△DEF为直角三角形.……………………………………10分
3.（1）对于，当y=0，x=2.当x=-8时，y=-.

解得…………………………………………3分
（2）①设直线与y轴交于点M
当x=0时，y=. ∴OM=.
∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM=……………………4分
∵OM：OA：AM=3∶4：5.
由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED.
∴DE：PE：PD=3∶4：5.…………………………………………………………………5分
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∴PD=yP-yD

=.………………………………………………………………………6分
∴
…………………………………………………………………7分
……………………………………8分
②满足题意的点P有三个，分别是
……………………………………………………………11分
【解法提示】
当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以
当点F落在y轴上时，同法可得，
（舍去）.
4．解：⑴b=1
⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4
⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．
F
M
N
N1
M1
F1
O
y
x
l
 第4题解答用图
P
Q
⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：
直线y=－1即为直线M1N1．
如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF
同理MM1=MF．
那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1＋NN1）=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．

5.（1）易求得, , 因此得证.
(2)易证得∽,且相似比为，得证.
（3）120°，
6.（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，证△ABE≌△CDG即可.
（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2四边形EFGH是边长为h2的正方形，
所以.
(3)由题意，得 所以

又 解得0＜h1＜
∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；
当h1=时，S取得最小值；
当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.

7.解：⑴ ∵点是二次函数的图象与轴的交点，
∴令即.
解得.
又∵点在点左侧且
∴点的坐标为.
⑵ 由⑴可知点的坐标为.
∵二次函数的图象与轴交于点
∴点的坐标为.
∵，
∴.
∴.
⑶ 由⑵得，二次函数解析式为.
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的
图象交点的横坐标分别为和2，由此可得交点坐标为和.
将交点坐标分别代入一次函数解析式中，
得
解得
∴一次函数的解析式为.

8.⑴ 证明：如图1.
∵平分
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
⑵ .
⑶ 解：分别连结、、（如图2）
∵
∴
∵且
∴四边形是平行四边形.
由⑴得
∴是菱形.
∴.
∴是等边三角形.
∴ ①
.
∴.
∴. ②
由及平分可得.
∴.
在中，.
∴. ③
由①②③得.
∴.
∴.
∴.
9.解：⑴ 分别连结、，则点在直线上，如图1.
∵点在以为直径的半圆上，
∴.
∴.
在中，由勾股定理得.
∵
∴两条射线、所在直线的距离为.
⑵ 当一次函数的图象与图形恰好只有一个公共点时，的取值是或；
⑶ 假设存在满足题意的，根据点的位置，分以下四种情况讨论：
①当点在射线上时，如图2.
∵四点按顺时针方向排列，
∴直线必在直线的上方.
∴两点都在上，且不与点重
合.
∴.
∵且
∴.
∴.
②当点在（不包括点）上时，如图
3.
∵四点按顺针方向排列，
∴直线必在直线的下方.
此时，不存在满足题意的平行四边形.
③当点在上时，
设的中点为则．
当点在（不包括点）上时，如图4．
过点作的垂线交于点垂足为点可得是的中点．
连结并延长交直线于点．
∵为的中点，可证为的中
点．
∴四边形为满足题意的平行四边形．
∴．
2）当点在上时，如图5．
直线必在直线的下方．
此时，不存在满足题意的平行四边形．
④当点的射线（不包括点）上时，如
图6．
直线必在直线的下方．
此时，不存在满足题意的平行四边形．
综上，点的横坐标的取值范围是
或．

10.解：的面积等于 1 .
⑴ 如图.
以、、的长度为三边长的一个三角形是.
⑵ 以、、的长度为三边长的三角形的面积等于.
11． 证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形． …………（5分）
设与交于点，连接OM，则．又因为，所以
．
…………（15分）
又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以
△BOC∽△． …………（20分）
12.解：如图，连接AC，BD，OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O
的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 .
因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，
于是 . 因此
.
由△∽△，知．因为，
所以 ，BA=AD ，故
.
13.解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以
，
由此得，所以.
在Rt△ABF中，因为，所以
，
于是 .
由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ，
.
于是 ，
，
.
又，所以.
O
C
第14题
A
B
x
y
因为，所以.
14.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线与y轴交于点C的坐标（0, 3）
∴y=ax2+bx+3
又∵抛物线与x轴交于点A（－1, 0 B（4, 0）
∴
∴抛物线的解析式为
（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b
∴，解得
所以直线BC的函数解析式为y=x + 3
（3）存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积
∵△ABC的底边AB上的高为3
设△PAB的高为h，则│h│=3，则点P的纵坐标为3或－3
∴
∴点P的坐标为（0，3），（3，3），而点（0，3）与C 点重合，故舍去。

∴点P的坐标为 ，
∴点P的坐标为：P1（3，3），P2，P3
15.解：（1）-----2分
(2)t=1.2s------------------5分
（3）当时,s= -----------8分
当时,s= -----------------------11分
(4)t=1.5s或者t=12/7s-----------------14分
16.解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，—）,

则 解得

∴抛物线的解析式为:
----------------------------4分
(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) --------------------6分
②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=时, 5t2－8t+4=,得 20t2－32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去）-------------------------------7分
此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）
若R点存在，分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为—
即R (3, －)，代入, 左右两边相等，
∴这时存在R(3, －)满足题意.
【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为－即(1, －) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上.
【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—)代入,
左右不相等, ∴R不在抛物线上.
综上所述, 存点一点R(3, －)满足题意. ---------------------11分

（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—14分
17、（1）证明：∵ AB是⊙O的直径
∴ ∠ACB=90°
∵ ∠DCE=90°
∴∠ACB＋∠DCE=180°
∴ B、C、E三点共线。
(2)证明：连接ON、AE、BD，延长BD交AE于点F
∵ ∠ABC=45°，∠ACB=90°
∴ BC=AC，又∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC
∴ △BCD≌△ACE
∴ BD=AE，∠DBC=∠CAE
∴∠DBC＋∠AEC=∠CAE＋∠AEC=90°
∴ BF⊥AE
∵ AO=OB，AN=ND
∴ ON=BD，ON∥BD
∵ AO=OB，EM=MB
∴ OM=AE，OM∥AE
∴ OM=ON，OM⊥ON
∴ ∠OMN=45°，又 cos∠OMN=
∴
(3) 成立，证明同（2）。
18、解：(1)将点C（0，1）代入得
（2）由(1)知，将点A（1，0）代入得
， ∴
∴ 二次函数为
∵二次函数为的图像与x轴交于不同的两点
∴ ，而
∴ 的取值范围是 且
(3)证明： ∵
∴ 对称轴为
∴
把代入得
，解得
∴
∴
＝
＝＝1
∴为常数，这个常数为1。
19. 解：（1）把A、B(4，0)代入，得

解得
∴抛物线的解析式为：。
（1） 由，得抛物线的对称轴为直线，
直线交x轴于点D，设直线上一点T(1，h)，连结TC，TA，作CE⊥直线，垂足为E，由C(0，4)得点E(1，4)，
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得

解得，∴点T的坐标为(1,1).
（3）解：（Ⅰ）当时，△AMP∽△AOC ∴

∴
当时，S的最大值为8.
（Ⅱ）当时，
作PF⊥y轴于F，有△COB∽△CFP，又CO=OB
∴FP=FC=，
∴
∴当时，则S的最大值为。
综合Ⅰ、Ⅱ，S的最大值为。
20、解：（1）由题意可得

又点（1，8）在图象上
∴
∴ ………………………………………………………（1分）
∴ ……………………………………………………………（3分）
（2）

图略 ………………………………………………（7分）
当时， ………………（9分）
（3）不存在 ………………………………………………（10分）
理由：当且对应的时，

∴ ， ………………………………………（11分）
且 得
∴ 不存在正整数n满足条件 ……………………………（12分）
21.[解] (1) 根据两点之间距离公式，设M(a, a)，由| MO |=| MA |, 解得：a=1，则M(1, ),
即AM=。
(2) ∵ A(0, 3)，∴ c=3，将点M代入y=x2+bx+3，解得：b= -，即：y=x2-x+3。
(3) C(2, 2) (根据以AC、BD为对角线的菱形