高等数学上学期模拟试题(二)(四).doc

高等数学上学期模拟试卷四

一、填空题（3分×4）
　 1.曲线 的渐近线是 。
2.设 ，则 。
　3.设 ，其中 连续且 ，则 。
　4.曲线 所围图形的面积为 。

二、选择题（3分×4）
　1.设偶函数 有连续二阶导数，且 ，则 （ ）
　　A.不是 的驻点 B.一定是 的极值点
　　C.一定不是 的极值点 D.不能确定是否为 的极值点
　2. 等于（ ）
　　A. B. C. D.

　3.设 则 （ ）
　　A. B.
　　C. D.
　4.设 有二阶连续导数，且 ， ，则（ ）
　　A. 是 的极大值 B. 是 的极小值
　　C. 是曲线 的拐点
　　D. 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点
三、求解下列各题（6分×5）
　1.讨论函数 的连续性，并画出 的简图
　2.设函数 由方程组 所确定，求 .
　3.求不定积分
　4.设 求
　5.计算 。
四、设连续函数 当 时
讨论 当 时的单调性（6分）
五、已知 ，且 ，求 .（8分）
六、从抛物线 上一点 引抛物线 的切线，证明该切线与曲线 所围成的面积与 点的位置无关。（8分）
七、设 ， ，其中 是连续函数，试求 .（8分）
八、证明方程 在区间 上有且仅有两个不同实根.（8分）
九、设曲线 与它两条相互垂直的切线所围平面图形的面积为 ，其中一条切线与曲线相切于点 ， .试证：当 时，面积 最小.（8分） 

高等数学上学期模拟试题（二）
  一、填空
1．极限 = .
2．设 ，则y′= .
3．积分 和 的大小关系是 .
4． .
5．设k是实常数，函数f (x)= .若 存在，则k的取值范围是 .
二、选择：
1．设 ，则 等于： .
（A）g (x2)； （B）2xg (x) （C）x2g(x2)； （D）2xg (x2)
2．设f (x) 在x = x0处附近四阶连续可导且 ， ，则有：
（A）y = f (x)在x = x0有极大值； （B）y = f (x)在x = x0有极小值；
（C）y = f (x)在x = x0有拐点； （D）y = f (x)在x = x0无极值也无拐点。
3．对于不定积分 在下列等式中正确的是 .
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） .
4．已知f (x) 在x = 0的某邻域内连续，且f (0) =0， ，则在x=0处，f (x) .
（A）不可导 （B）可导且 （C）取得极大值 （D）取得极小值
三、1.若f (x)有n阶导数，试用数学归纳法证明：

2．求曲线 的拐点坐标。
3．作 的图形。
4．求曲线 上曲率最大的点的坐标。
四、一曲线过原点，且在任一点（x,y）的切线的斜率等于2x，求该曲线方程。
五、当a为何值时，抛物线y=x2与三直线x = a，x = a+1，y= 0所围成的图形面积最小？
六、设曲线方程为 ，求此曲线在横坐标x=1处的法线方程。
七、直线y = ax+b经过点(2,1)，且使积分 的值最小，求a、b之值。
八、求
九、求
十、设f (x) 具有二阶导数，在x = 0的某去心邻域内f (x) ≠0，且 ，求 .
十一、设f (x)在[0,1]上连续，证明 。
十二、设 在 有意义，试证明：

2001年高等数学（上）期末试卷

一、填空题（每小题3分，共9分，将答案填在题中横线上，不填解题过程）
　1.                            .
　2.  函数 ，其中 可微，则 =                   .
　3.  质点以速度 m/s作直线运动，则从 ，到 s内，质点所经过的路程等于=               m.

二、选择题（每小题3分，共9分，每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）
　1. 当 时，无穷小量 是 的（     ）
　　A. 高阶无穷小                  B. 低阶无穷小
　　C. 等价无穷小                  D. 同阶但不等价无穷小
　2. 设函数 的导函数为 ，且 ，则 （     ）
　　A. .      B.       C.        D.
　3. 若 ，则 （      ）
　　A.4.           B.2.         C.              D.1.
三、求解下列各题（每题6分，共36分）
　1. （6分）求极限
　2. （6分）设 ，其中 连续，且 ，求
　3. （6分）计算不定积分
　4. （6分）设 ，求
　5. （6分）计算反常积分
　6. （6分）设函数 ，求
四、（6分）若方程 有一个正根 ，证明方程 必有一个小于 的正根.
五、（8分）设函数 在（ ）上处处连续、可导，求 的值.
六、（8分）确定常数 ，使得
七、（9分）已知函数 ，求（1）函数的增减区间及极值；（2）函数图形的凹凸区间及拐点；（3）函数的水平和铅直渐近线.
八、（9分）设直线 与抛物线 所围图形的面积为 ，它们与直线 所围图形的面积为 ，（1）试确定 的值使 + 达到最小；（2）求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积.
九、（6分）设当 时， 连续，且0＜ ＜ ，证明数列 的极限存在.