2019届高三文科数学测试题(三)附答案.doc

2019届高三文科数学测试题（三）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．
2．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．

根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份
B．2017年1月至12月的仓储指数的中位数为
C．2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大
D．2017年11月份的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好
3．下列各式的运算结果为实数的是（ ）
A． B． C． D．
4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（ ）

A． B． C． D．
5．双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，各棱长均为1的直三棱柱，，分别为线段，上的动点，且平面，则这样的有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
7．已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．函数在区间上的图象大致为（ ）

9．已知函数，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减，在单调递增
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
10．如图是为了求出满足的最小整数， 和两个空白框中，可以分别填入（ ）

A．，输出 B．，输出
C．，输出 D．，输出
11．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（ ）
A． B． C． D．
12．设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量，，若，则实数的值为 ．
14．曲线在点处的切线方程是 ．
15．若，，则 ．
16．已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）设为数列的前项和，已知，．
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？

18．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若四棱锥的体积为，求该三棱柱的侧面积．

19．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量，数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．

表中，．
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；
（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且．已知点的声音能量等于声音能量与之和．请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．
附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

20．（12分）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，当点的纵坐标为1时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线的斜率为2，问抛物线上是否存在一点，使得，并说明理由．

21．（12分）已知，函数．
（1）若有极小值且极小值为0，求的值；
（2）当时，，求的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线．
（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（2）若直线：（为参数）与，相交于，两点，且，求的值．

23．（10分）选【修4-5：不等式选讲】
已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．

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高三文科数学（三）答 案
一、选择题．
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】A
11．【答案】D
12．【答案】A
二、填空题．
13．【答案】10
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
三、解答题．
17．【答案】（1）见解析；（2），是．
【解析】∵，，∴，
∴，∴，，
∴是首项为2公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，∴，
∴，∴，
∴，即，，成等差数列．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：三棱柱的侧面中，，
∴四边形为菱形，
∴，又平面，平面，∴，
∵，∴平面，平面，
∴平面平面

（2）过在平面内作于，
∵平面，平面，
∴平面平面于，平面，
∴平面．
在中，，，
∴，∵，∴点到平面的距离为．
又四棱锥的体积，∴
在平面内过点作交于，连接，则，
，
∴．
19．【答案】（1）更适合；（2）；（3）是，见解析．
【解析】（1）更适合．
（2）令，先建立关于的线性回归方程，
由于，∴，
∴关于的线性回归方程是，即关于的回归方程是．
（3）点的声音能量，∵，
∴，
根据（2）中的回归方程，点的声音强度的预报值
，
∴点会受到噪声污染的干扰．
20．【答案】（1）：；（2）存在点，见解析．
【解析】（1）由抛物线的定义可得，故抛物线方程为．
（2）假设存在满足条件的点，则设直线，
代入可得，设，，
则，，
因为，，
则由可得，
即，也即，
所以，由于判别式，此时，，
则存在点，，即存在点满足题设．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
①若，则由解得，
当时，，递减；当时，，递增；
故当时，取极小值，令，得（舍去），
若，则由，解得．
（i）若，即时，当，，递增；
当，，递增；故当时，取极小值，
令，得（舍去）．
（ii）若，即时，，递增不存在极值；
（iii）若，即时，当时，，递增；
当时，，递减；当时，，递增；
故当时，取极小值，得满足条件，
故当有极小值且极小值为0时，．
（2）等价于，即，
当时，①式恒成立；当时，，故当时，①式恒成立；
以下求当时，不等式恒成立，且当时不等式恒成立时正数的取值范围，
令，以下求当，恒成立，且当，恒成立时正数的取值范围，
对求导，得，记，，
（i）当时，，，
故在上递增，又，故，，，，
即当时，式恒成立；
（ii）当时，，，故的两个零点即的两个零点和，在区间上，，，是减函数，
又，所以，当时①式不能恒成立．
综上所述，所求的取值范围是．
22．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）的普通方程为，把代入上述方程得，，
∴的方程为，令，，
所以的极坐标方程为．
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，
由，得，由，得，
而，∴，而，∴或．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，不等式等价于，①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，得；
当时，①式化为，得，
所以的解集为．
（2）当时，，
所以的解集包含，等价于时，，
又在上的最大值为，
所以，即，得，
所以的取值范围为．
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