6.3数学归纳法同步练习1.doc

世纪之教 问题是数学的心脏数学归纳法同步练习一、选择题： 1.已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A.30B.26C.36D.62.用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空题3.观察下列式子：则可归纳出_.4.已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想an=_.三、解答题： 5.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中nN*.6.若n为大于1的自然数，求证：.7.已知数列8.数列an的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，).用数学归纳法证明数列是等比数列 .9.设数列满足,证明(1)对一切正整数n 成立.(2)令,判断的大小，并说明理由 .10.试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n7，nN)分的邮资11.已知,用数学归纳法证明.12.己知数列an满足条件且,设，求bn的通项公式, 并用数学归纳法证明.13.己知数列an满足条件 且 设 试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，推导出f(n)的公式，并证明求an的通项公式, 14.已知函数且存在使（I）证明：是R上的单调增函数；设其中（II）证明：（III）证明：数学归纳法同步练习参考答案一、选择题： 1.解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2)f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36.答案：C2.解析：由题意知n3，应验证n=3.答案：C二、3.解析：(nN*)(nN*)、 三、解答题： 5.证明：(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除当n=k+1时也成立.由知，当nN*时，42n+1+3n+2能被13整除.6. (1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即7. （1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n=k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切.8. 由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)，知a2=S1=3a1, 猜测是首项为1，公比为2的等比数列。下面用数学归纳法证明：令bn=.当n=2时,b2=2b1,成立。当n=3时,S3=a1+a2+a3=1+3+2(1+3)=12,b3=4=2b2.成立。假设n=k时命题成立。即bn=2bn1.那么当n=k+1时。bk+1=.命题成立。综上知是首项为1，公比为2的等比数列。 9. （I）证法一：当不等式成立.综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.证法二：当n=1时，.结论成立.假设n=k时结论成立，即 当的单增性和归纳假设有所以当n=k+1时，结论成立.因此，对一切正整数n均成立.(2) （II）解法一： 解法二：I解法三： 故.10. 证明 1当n=8时，结论显然成立 2假设当n=k(k7，kN)时命题成立 若这k分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资；若这k分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资故当n=k+1时命题也成立 综上，对n7的任何自然数命题都成立11. 12. 13. 14. 解: （I）f (x)=3x22x+ = 3(x)2+ 0 , f(x)是R上的单调增函数.（II）0x0 , 即x1x0y1.又f(x)是增函数, f(x1)f(x0)f(y1).即x2x00 =x1, y2=f(y1)=f()=y1,综上, x1x2x0y2y1.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,上面已证明成立.(2)假设当n=k(k1)时有xkxk+1x0yk+1yk . 当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk),xk+1xk+2x0yk+2yk+1由(1)(2)知对一切n=1,2,都有xnxn+1x0yn+1yn.（III） = = yn2+xnyn+xn2(yn+xn)+ (yn+xn)2(yn+xn)+ =(yn+xn)2+ . 由()知 0yn+xn1. yn+xn , ()2+ = 论坛： 搜集整理世纪之教 第 9 页 共 9 页