初一七年级下册初中数学中考知识点聚焦+第六章++二次根式.docx

第六章 二次根式
高频考点
考查频率
所占分值
1．二次根式有意义的条件
★★

2．二次根式的性质与化简
★

3．最简二次根式
★

4．二次根式的乘除法
★★
3～7分
5．二次根式的加减法
★

6．二次根式的混合运算
★★★

7．二次根式的化简求值
★★

知能图谱
二次根式的有关概念
二次根式
二次根式的性质
二次根式的乘除
二次根式的化简与计算

二次根式的乘法
二次根式的除法
二次根式的加减
二次根式的混合运算

第13讲 二次根式的有关概念及性质
知识能力解读
知能解读 (一)二次根式
一般地，形如的式子叫作二次根式，“”称为二次根号．其中叫作被开方数，为整式或分式，如，，等．
注意：对定义的理解要注意三点：(1)从形式上看必须含有二次根号“”；(2)在二次根式中，被开方数必须满足，且可以是一个数，也可以是含字母的代数式；(3)二次根式表示非负数的算术平方根．
(二)最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
化去根号内的分母将二次根式化成最简二次根式的步骤：如果根号内的分母是一个平方数(式)，可直接利用商的算术平方根的性质，分子、分母分别开方；如果分母不能开得尽方，则被开方数中的分子、分母同乘—个适当的不为零的数(式)，使分母成为一个平方数(式)，其根据是分式的基本性质．
(三)同类二次根式(拓展)
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．
注意：(1)同类二次根式类似于整式中的同类项，如和是同类二次根式，和也是同类二次根式．
(2)定义中强调在化成最简二次根式后，要满足“两相同”，即根指数是2，被开方数相同，这一定义的应用很广．
(3)几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同，如，，等都是同类二次根式，判断的关键是能熟练地化二次根式为最简二次根式．
(四)二次根式的性质
(1)；
(2)；
(3)积的算术平方根的性质：；
(4)商的算术平方根的性质：．
注意：对性质的理解和应用注意以下几点：
1．性质的应用：可把任何一个非负数写成平方的形式，即可逆用．如，故因式分解可在实数范围内进行，如．也可以用平方运算去掉根号．
2．这一性质的主要应用：(1)正向应用于二次根式的化简与计算；(2)逆向应用时可将根号外的非负因式移到根号内，如．
3．积、商的算术平方根的性质是化简二次根式的重要依据．
(1)．该表达式有两个特点：①这个性质是针对算术平方根而言的；②等式左边是两个非负数，的积的算术平方根，右边是这两个非负数，的算术平方根的积．
(2)对商的算术平方根的性质的理解：①这个性质是针对算术平方根而言的；②等式左边是两个非负数(除数不为0)的商的算术平方根，右边是被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；③在实际解题时，若不考虑，的正、负，得是错误的，如：在实数范围内无意义．
方法技巧归纳
方法技巧 (一)二次根式概念问题的解题方法
1．二次根式的识别方法
2．二次根式有意义的条件是
(二)利用二次根式的性质解决问题的方法
1．性质与的应用
，正用该性质，可以计算形如的式子，如，；逆用该性质，可以把一个非负数写成它的算术平方根的平方，如，用它可以在实数范围内对多项式分解因式．
在化简时，一定要明确被开方数的底数是非负数还是负数：若是非负数，则等于它本身，即若是负数，则等于的相反数，即．
2．性质和的应用
(三)最简二次根式的识别方法
判断断一个二次根式是否为最简二次根式的标准有两条：一是被开方数的因数是整数，因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
(四)用同类二次根式的概念解题(拓展)
(五)二次根式中的化简技巧
易混易错辨析
易混易错知识
1．与的异同．
式子
异同点

不同点
意义
表示一个非负数的算术平方根的平方
表示一个实数的平方的算术平方根
取值
是非负数
是任意实数
结果

相同点
与本身都是非负数，且当时，
2．忽略积、商的算术平方根公式中被开方数应满足的条件．中易忽略，，的条件；中易忽略，的条件．
易混易错 (一)二次根式的概念理解不透
(二)不能正确运用积、商的算术平方根公式中的条件
中考试题研究
中考命题规律
本讲的主要考点是二次根式的概念、最简二次根式的概念及用二次根式的性质进行计算、化简，题型以填空题、选择题为主，近几年中考出现了估算、规律探究等新题型．
中考试题 (一)二次根式有意义的条件
(二)二次根式的性质与化简
(三)最简二次根式

第14讲 二次根式的运算
知识能力解读
知能解读 (一)二次根式的乘法法则：
说明：(1)此法则是积的算术平方根性质的逆用．
(2)此法则可推广到多个二次根式相乘，即．
(二)二次根式的除法法则：
此法则是逆用商的算术平方根的性质得到的．如果，是负数，那么，在实数范围内没有意义．如果，那么，无意义．
(三)二次根式的加减
二次根式进行加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
注意：(1)与整式的加减类似，二次根式的加减，就是化简后合并被开方数相同的二次根式．合并时只将二次根式中的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．如．
(2)二次根式中的系数不能写成带分数．如，而不能写成．
(3)二次根式的加法也满足加法交换律和结合律．
(四)二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．运算结果应化为最简二次根式或整式．
有理数(式)中的运算律及多项式乘法、乘法公式在二次根式的运算中仍然适用．
如：(1)型，可用分配律化简，即原式．
(2)，即用平方差公式．
(3)，即用完全平方公式．
(4)型．
(五)分母有理化(拓展点)
有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，如和；和互为有理化因式．二次根式的除法可以用化去分母中根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化．
分母有理化的依据是：分式的基本性质．
分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号．
注意：分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如的有理化因式是，的有理化因式是．
方法技巧归纳
方法技巧 (一)二次根式乘法的解题方法
二次根式相乘就是把各因式的“系数”的积作为积的“系数”，各被开方数的积作为被开方数，根指数不变，计算结果必须化成最简二次根式或整式．
(二)二次根式除法的解题方法
商的算术平方根的性质反过来就是二次根式的除法法则，与二次根式的乘法法则类似，要求能正、反应用公式化简二次根式．
1．法则的直接应用
2．分母有理化的方法(拓展)
把分母中的根号化去的过程称为分母有理化，具体做法：①；②也可以通过类比分式中的“约分”进行分母有理化，如．
(三)二次根式加减的解题方法
二次根式加减的实质就是合并被开方数相同的二次根式．一般步骤：(1)将每一个二次根式化为最简二次根式；(2)找出其中的被开方数相同的二次根式，再合并．
(四)二次根式的混合运算技巧
二次根式混合运算与有理数的混合运算一样，使用运算律可使计算简便．
(五)二次根式化简求值的技巧
在二次根式的化简求值过程中，根据代数式的特点将某些含有字母的代数式的值整体代入，会使计算更简便．
(六)根号外因式移到根号内的技巧
二次根式的化简就是把被开方数中能开得尽方的因式，用它的算术平方根代替，移到根号外边．反过来，根号外的因式要移到根号内，该因式必须是非负因式，平方后移到根号内即可．若根号外的因式是负数或负因式，则变形为正数或正因式后再移动．
易混易错辨析
易混易错知识
1．忽视公式、法则成立的条件．
例如在中忽视，，在中忽视，．在化简时，分子、分母都乘，忽视了的可能情况，而出现的错误解法．正解解法应该是：．
2．因式内移时，符号出错．
如把根号外的因式移到根号内，应考虑本身的正负性，由知，故根号外的不能直接移到根号内，即当把—个负数移入根号内时，要把负号留在根号外，把它的绝对值的平方移入根号内，防止出现类似“”的错误．
3．做二次根式的加法时，不能合并的合并了．
如出现类似“”的错误．
易混易错 不能运用运算律的，错用运算律
中考试题研究
中考命题规律
本讲在中考中重点考查二次根式的计算、化简与求值，题型有填空题、选择题、解答题，还常与分式、一元二次方程、函数结合出综合题，近几年规律探究题的考查呈上升趋势，应予以关注．
中考试题 (一)二次根式的运算
(二)二次根式的化简求值