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由一个高等数学背景下的中学数学问题引起的思考
张丽
随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。导数部分内容就丰富了很多。如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点，作出函数的示意图，通过直观化解决超越函数的有关问题。另外，随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件...虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。
下面本人针对下面这道高考模拟题谈谈它的高数背景和四种解法。
原题   已知函数
（1）      求函数的单调区间；
（2）      当时，若是函数图象上的两点，且存在实数使得
证明：
1      高等数学背景
本题的高数背景就是《数学分析》中著名的“拉格朗日中值定理”：
定理 如果函数在上可导，上连续，则至少存在一个实数ξ∈，使得。
几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(,f()),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

几何意义
2      初等数学解法
     本题给出一个具体的函数模型，而且将拉格朗日中值定理中的条件和结论进行了调转，一个从几何直观上看起来理所当然的问题，证明起来却相当困难。很多数学优等生在它面前束手无策！这道题可以走“正面”和“反面”两种路线，直接做有三种方法，间接做更为简单。
（1）略；
（2）解：当时，，此时，            ， 
从而原等式为.（※）
解法一  反证法
解：假设，则①
②
①+②得  这与（※）式矛盾，从而假设错误，所以
同理可证  
综上，
解法二  函数零点的存在性定理
分析    本题中涉及“存在”这个词语，通过构造函数，利用函数零点的存在性定理，证明在区间内存在正实数是函数的零点。
由题意可得是方程的根，                        
令，
，     
，   
，由零点的存在性定理，可知：. 
解法三   函数单调性定义的逆用
，
　　　由已知得                                         
因为二阶导数
所以单调递增，
而

即，根据单调性定义的逆用，
同理，可证，因此.    
解四  不等式放缩法
由已知得 ，                              
因，                                       
即，
由                           
而，所以.
同理可证，因此.                   
  四种解法，四个不同的切入点，对于训练思维很有帮助，初等数学攻破高等数学的难关，最大的难点是突破其抽象性。
通过这个例题的分析思考，我们可以看出一些问题，得出一些结论。21世纪是以知识的创新和应用为重要特征的知识经济时代，国家发展越来越依赖高素质的劳动者和大量的创新人才。高考要为高校选拔具有学习潜能的人才，因此近年来全国各地高考试题中以高等数学为背景的“高观点”中学数学问题“频频登场”。这些高考题、模拟题的命制选取有着高等数学背景的定理。这些看起来抽象、高深的定理下放到中学试卷中，用初等数学的方法来解答，往往蕴含着丰富的数学思想，对于训练思维非常有益处。
一、中学数学老师学习高等数学的现状：
随着基础教育课程改革的深入展开，中学教师在实施层面遇到的问题或困惑会越来越多.在中小学数学教学中，人们往往只重视对教学方法和解题思路的研究，而不注重高等数学知识的再学习和积累.有些老师对新课程理解不到位，对教材的重难点缺少把握或理解错误；这些都取决与大多数中学老师不注重对高等数学知识的学习. 
作为一名中学数学教师，想要培养学生分析问题和解决问题的能力，就必须用更高深的数学知识来武装自己，把自身掌握的高数知识融入到中学数学教育中.这就使得“高观点下的初等数学”不仅是高师数学专业教学改革的一个迫切任务, 而且是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向.高等数学不仅是中学的延拓，也是现代数学的基础，高等数学应用于中学是有意义的. 
二、新课程实施初期高观点下试题的命制存在的主要问题 
高观点下试题的命制是以“高观点”下的现代数学来命制中学数学的一种新的命制模式.而一般人认为，所谓命题就是找一些专家，拿一些题目，组合一下就成了试卷，而目我省的高观点下试题的编制题基本上也还停留在寻找与高等中数中的旧题目进行适当的整合成一份卷子的水平，还缺乏进一步的研究与探索。
三、学习高等数学的意义 
1．学习高等数学有利于加深对中学数学教材的结构和体系的理解 
中学数学教材的编写是根据中学生的年龄特征,遵循量力性、可接受性和循序渐进等原则来编写.因此,中学数学教材在某些方面就必须忽略逻辑严密性和系统性.但是对于老师而言，就不能也只按教材安排的理解，老师应该有更高层次的学习.而 “高等数学”能够使我们准确把握初等数学的本质和关键, 从而高屋建瓴地处理中学教材. 
2．学习高等数学有利于提升对数学思想方法的领悟 
数学知识从概念的发生、命题的形成到公理、定理的获得, 无不折射出数学思想的灵光.中学数学的问题基于基础知识之上, 问题的提出和问题本身都隐藏着深遽的思想和方法.解决一个数学问题最重要的不在于问题的结果, 而在于一种思想或方法的挖掘.数学思想方法是数学的核心.数学知识的记忆是暂时的,数学思想方法的掌握是长远的.初等数学和高等数学的思想、方法存在着直与曲、常与变、有限与无限、问断与连续等统一的一面．准确的说，初等数学思想方法是高等数学方法的简单体现，也是学习高等数学的基础.假如没有高等数学的学习，对于很多数学思想或方法应该是模棱两可，只能是在套题型解题，而不能从本质上领会某种数学思想. 
3．学习高等数学知识有利于把课堂上活 
初等数学经常会遇到这样的问题:0为什么作为第一个自然数? 三角形内角和为什么为什么不存在?自然对数为什么以e为底等等.这些对于中学生未必须搞清楚的问题, 中学数学教师则必须利用数学史和高等数学知识, 弄清楚其中道理, 并给予学生科学、通俗、有趣的回答.可以避免在课堂上出现被学生难倒的情况，可以用科学的方式来解释学生提出的问题，而不是搪塞学生或因为自己不知道而轻易否定学生的结论，抹杀学生的学习积极性。
4．学习高等数学有利于编出一些好题 
纵观琳琅满目的中学数学教辅类用书，有相当一部分例题与习题是辗转的．很多老师乃至命题者只是简单的把一个题目从一处搬往另一处或者只是做简单的数据变型.事实上，我们完全可以根据高校中所学的专业知识编一些不脱离中学实际且富有新意的习题. 五.学习高等数学有利于纠正一些常规错误 
很多老师由于缺乏高数知识，传授很多错误的思想给学生.他们只凭自己理所当然的想法就轻易的下结论或否定一个结论，这样的负面影响是很大的.但假如老师能掌握一些高数知识，就可以避免很多错误。
四、 对中学教学的几点想法
1.对学生而言，要转变学习态度、方法和习惯 
要改变学生过去对数学知识死记硬背、生搬硬套的学习方式，转化为对数学概念、定理和公式能有深刻的理解和牢固掌握且具备运用数学知识和方法解决实际问题的能力过去的题海战术已经是不可能在高考上取胜.纯粹的接受性学习在面对“高观点题”时，是无能为力的！只有将研究性学习内化成一种潜意识的行为，探究精神与创新能力成为学习的一种至高境界，在遇到“高观点题’，时，才能冷静分析、准确解答. 
2.对于从事中学数学的教育者，掌握高等数学的知识是不容置疑的 
对老师而言，用高等数学的知识去统一初等数学的松散体系，用高等数学的思想方法去总结初等数学的解题规律，用高等数学的理论对初等数学做新推广和深发展.用较高的观点研究初等数学，分析研究初等数学的重要概念、思想和方法、多运用高等数学的方法解释一些初等数学中的问题.研究现代数学与中学数学的联系，结合现代数学的思想加强挖掘中学教材中背后隐藏的知识，尽可能避免在课堂出现被学生问倒的情况.只有这样才能做好教书育人工作.而且应该尽可能地站在较高的观点上俯视中学数学的内容，并在日常教学中注意编拟以高等数学为背景的题目，这对培养学生的数学能力、开阔学生的视野,培养学生的思维品质以及适应以后的大学数学学习是非常有益的. 
3．对于教育部门而言，应该重视对于高等数学的学习 
教育部门应组织一线教师对于高等数学的再学习，为一线教师的再学习提供条件很营造学习氛围.可以组织培训和深造学习.也应该加大力度考察老师掌握高等代数的情况. 
4.对于高校选拔人才而言是一个很好的平台 
高校招考制度是基础教育的“指挥棒”，对于基础教育具有根本的导向作用.增设这个专题，可以为高校选拔人才的有了新的方式.这个专题可以摆脱“知识单一化”高考模式，摆脱忽略实践能力的培养的教学模式，以及降低高分低能的现象.可以为学生未来的学习提供具体的知识固着点和思维的搭载体，为他们将来在大学系统学习和理解矩阵的相关知识做铺垫．真正实现可大学是根据自己的人才培养目标挑选人才，回归到了大学选拔的本意。 
通过调查研究，探析这些高等数学背景下的中学问题的，充分说明了“高观点”下的中学数学问题的特点。运用“高观点”居高临下地分析和处理“高观点”下的中学数学问题，能提高学生的数学学习成绩和分析问题、解决问题能力。为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。