2019年1月浙江省高中数学学考试题及解答(wold版).doc

2019年1月浙江省学考数学试卷及答案
满分100分，考试卷时间80分钟
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
解析：答案为C，由题意可得.
2.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
解析：答案为D，若使函数有意义，则，解得，故函数的定义域为.
3.圆的半径是（ ）
A. B. C. D.
，解析：答案为A， ∵，故.
4.一元二次不等式的解集是（ ）
A. B.或 C. D.或
，解析：答案为A，解不等式可得.
5.双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
解析：答案为B，∵双曲线方程为，，，焦点在轴上，∴渐近线方程为，即.
6.已知空间向量，，若，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
解析：答案为C，∵，∴解得.
7.（ ）
A. B. C. D.
解析：答案为D ，.
8.若实数，满足不等式组，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
解析：答案为C，画出可行域如图所示，
约束条件对应的平面区域是以点，和所组成的三角形区域（含边界），易知当过点时取得最大值，最大值为.
9.若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）
A.内的所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线
C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交
解析：答案为B ，由已知得，与相交，设，则内过点的直线与相交，故A不正确；不过的直线与异面，故D不正确；内不存在与平行的直线，所以B正确，C不正确.
10.函数的图象大致是（ ）

A. B. C. D.
解析：答案为A ，∵，∴函数为偶函数，故排除B，D.
又∵无论取何值，始终大于等于，∴排除C，故选A.
11.若两条直线与平行，则与间的距离是（ ）
A. B. C. D.
解析：答案为D ，∵，∴，解得，∴，
∴，之间的距离为.
12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A. B. C. D.
解析：答案为B ，由三视图可知，该几何体为球的四分之一.
其表面积为：.
13.已知，是实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：答案为A ，充分性：∵，∴，又是单调递增函数，∴，故充分性成立；必要性：∵，是单调增函数，∴，取，，满足，但，故必要性不成立；∴“”是“”的充分不必要条件.
14.已知数列，是正项等比数列，且，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
解析：答案为C ，由题意可知，，
即，∴不可能是.
15.如图，四棱锥中，平面平面，且四边形和四边形都是正方形，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A. B. C. D.
解析: 答案为C ，连接，交于点，由对称性可知，，
∵是正方形，∴.
又∵平面平面，平面平面，
∴平面，∴即为直线与平面所成夹角，
不妨设，则 .
16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（ ）

A. B. C. D.
解析：答案为A ，如图建立直角坐标系，
则点坐标为：，利用相似可知，即， ∴.
17.数列，用图象表示如下，记数列的前项和为，则（ ）

A.， B.，
C.， D.，
解析：答案为B ，由图易知，当时，；当时，；当时，；当时，.令，可得当时，；当时，，
当时，，故在时单调递增，时单调递减，在时单调递增.
18.如图，线段是圆的直径，圆内一条动弦与交于点，且，现将半圆沿直径翻折，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
解析：答案为D ，设翻折后与平面所成的角为，则三棱锥的高为，所以，又，，所以体积的最大值为.
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）
19.已知等差数列中，，，则公差 ▲ ， ▲ .
答案：，；
解析：∵，，∴，解得；又，∴.
20.若平面向量，满足，，与的夹角为，则 ▲ .
答案：24
解析：.
21.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形区域改造成公园，经过测量得到，，，，且，则这个区域的面积是 ▲ .
答案：
解析：∵，
∴，∴，∴，，∴区域面积为：.
22.已知函数.当时，恒成立，则实数的取值范围是 ▲ .
答案：
设，则，则等价于，即.一方面，由于当时，不等式成立，从而 .另一方面，设，
则 ，因此在上单调递增，
因此，从而.
综上所述，所求的实数的取值范围为.

三、解答题（本大题共3小题，共31分.）
23.已知函数，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期；
（Ⅲ）求函数的最大值.
解析：（Ⅰ）.
（Ⅱ）因为，

所以，函数的最小正周期为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当时，函数的最大值是.
24. 如图，已知抛物线和抛物线的焦点分别为和，是抛物线上一点，过且与相切的直线交于，两点，是线段的中点.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若点在以线段为直线的圆上，求直线的方程.
解析：（Ⅰ）由题意得，，，所以.
（Ⅱ）设直线的方程为：，联立方程组，消去，得，因为直线与相切，所以，
得，且的坐标为.
联立方程组，消去，得，
设，，，则，，
所以，.
因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，
解得，经检验满足题意，故直线的方程是.
25.设，已知函数.
（Ⅰ）当时，判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）设，若关于的方程有实数解，求的最小值.
解析：（Ⅰ）当时，.
的定义域是，且，所以是偶函数.
（Ⅱ）由已知得，
当时，恒成立，即，所以；
当时，恒成立，即恒成立，
因为，所以；
当时，恒成立，即，
因为，所以；
当时，恒成立，即，所以；
综上所述，的取值范围是.
（Ⅲ）设是方程的解，则.
当时，，即，
所以是直线上的点，
则，当且仅当时，等号成立.
当时，，即，
所以是直线上的点，
则，
因为，所以，
当且仅当，时，的最小值是.

2019年1月浙江省学考数学参考答案
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
C
D
A
A
B
CD
D
C
B
题号
10
11
12
13
14
15
16
17
18
答案
A
D
B
A
C
C
A
B
D

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）
19．2，9 20. 24 21. 22.
三、解答题（本大题共3小题，共31分.）
23．解： （Ⅰ）.
（Ⅱ）因为，
所以，函数的最小正周期为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当时，函数的最大值是.
24. 解：（Ⅰ）由题意得，，，所以.
（Ⅱ）设直线的方程为：，联立方程组，消去，
得，因为直线与相切，所以，
得，且的坐标为.
联立方程组，消去，得，
设，，，则，，所以，.
因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，
解得，经检验满足题意，故直线的方程是.

25.解： （Ⅰ）当时，.
的定义域是，且，所以是偶函数.
（Ⅱ）由已知得，
当时，恒成立，即，所以；
当时，恒成立，即恒成立，
因为，所以；
当时，恒成立，即，因为，
所以；
当时，恒成立，即，所以；
综上所述，的取值范围是.
（Ⅲ）设是方程的解，则.
当时，，即，
所以是直线上的点，
则，当且仅当时，等号成立.
当时，，即，
所以是直线上的点，
则，
因为，所以，
当且仅当，时，的最小值是.

11