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高中数学∙2017秋季

演练方阵
第5讲 导数综合

导数与函数之恒成立问题

类型一:不等式恒成立问题
☞考点说明：不等式恒成立问题转成最值问题，常用方法：“分离参量法”和“不分离参量”直接求解法。
【易】1. 已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围。

【易】2. 已知函数⑴求在[0,1]上的极值；⑵若对任意，不等式成立，求实数的取值范围。

【易】3. 已知函数 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.

【易】4. 已知函数,（其中R,为自然对数的底数）. 1)当时,求曲线在处的切线方程； (2)当时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围。

【中】5. 已知函数．（1）若函数在区间其中，上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。

【中】6. 已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立．（1）求函数的解析式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【中】7. 设函数.⑴若，求的单调区间；⑵若当时，求的取值范围.

【中】8. 已知函数，（1）设实数，求函数在上的最小值；（2）证明：对一切，都有成立．

【难】9. 已知函数.（1）求函数的单调区间；
（2）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围。

【难】10. 已知函数⑴求函数的单调区间;⑵若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.

类型二:函数恒成立问题
☞考点说明：函数恒成立问题与不等式恒成立问题相似，函数恒成立问题可以等价转换成最值问题。
【易】1.已知函数⑵若在定义域内单调递减，求满足此条
件的实数k的取值范围。

【易】2. 已知函数，若在上恒成立，求的取值范围。
【易】3. 函数．若单调递增，求的取值范围．

【易】4. 已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.
（1）求的最大值；（2）若上恒成立，求t的取值范围；

【易】5. 已知三次函数的最高次项系数为，三个零点分别为，若函数在区间内单调递减，求的取值范围。

【易】6. 已知函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围。

【中】7. 设函数在上是增函数， (1) 求正实数的取值范围；（2) 设，求证：

【中】8. 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．⑴用表示，并求的最大值；⑵求证：当时，．

【中】9. 已知函数若函数在上为单调增函数，求的取值范围。

【中】10. 已知函数在点的切线方程为.⑴求函数的解析式；⑵设，求证：≥在上恒成立。

【难】11. 已知函数的图象在点处的切线方程为.⑴用表示；⑵若在上恒成立，求的取值范围。

【难】12.已知函数（1）求函数的极值点。（2）若恒成立，试确定实数的取值范围。

导数与函数能成立问题

类型一:不等式能成立问题
☞考点说明：不等式能成立问题转化为不等式有解问题。
【易】1. 已知函数，，当时，若，比较：与
的大小。

【易】2. 知函数．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）设（k＞0），对，使得成立，求的取值范围。

【中】3. 设函数，（是实数，为自然对数的底数）
⑴若为其定义域内单调函数，求的取值范围；⑵若在上至少存在一点，使
得成立，求的取值范围。

【中】4. 已知集合，集合{ |已知函数
，使成立}，则A∩B=（　　）
A. B.{或} C. {或} D. {或}

【难】5. 已知函数（1）求的极小值；（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；（3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个使得成立，求的取值范围。

类型二:函数能成立问题
☞考点说明：区间上函数不单调和函数在区间上存在单调区间都是函数能成立问题。
【易】1.已知函数(为实常数).若存在，使得成立，求实数的取值范围.

【易】2. 已知函数，为何值时，函数在区间上有零点。

【中】3. 设函数，其中是自然对数的底数，⑴求证：函数存在极值⑵若，使得不等式成立，求实数的取值范围。

【中】4. 已知函数，，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围。

【中】5. 已知函数在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

【中】6.设是函数的一个极值点.（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围。

【难】7. ，（1）若，求函数的极值；（2）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示），并确定的单调区间；（3）在（2）的条件下，设，函数．若存在使得成立，求的取值范围。

导数与函数之零点问题
类型一:方程零点问题
☞考点说明：方程零点问题转化为实根问题或两个函数图像交点个数问题。
【易】1. 已知三次函数的最高次项系数为，三个零点分别为. 若方程有两个相等的实根，求的值。

【易】2. 设函数当时，函数与的图像有三个不同的交点，求实数的范围.

【易】3. 已知，函数.(1)当时，解不等式；(2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值。

【易】4. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设，(1)求的值；(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．

【易】5. 已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。当时，求整数的所有值，使方程在上有解。

【易】6. 已知函数在为单调增函数，求的取值范围。

【中】7. 已知函数若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围。

【中】8. 已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）证明：当时，函数没有零点（提示：）

【难】9. 已知函数，函数是区间上的减函数.（1）求的最大值；（2）若，上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数。

类型二:图像交点问题
☞考点说明：利用数形结合进行解题。
【易】1. 已知函数，，若不等式有唯一正整数解，求实数的取值范围．

【易】2. 已知函数若使方程有实根，求实数的取值范围．

【易】3. 已知函数．若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围。

【易】4. 已知函数有唯一零点，则
A． B． C． D．1

【中】5. 已知的导函数为，且不等式的解集为，（1）若函数的极小值为，求实数的值；（2）当时，关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围。

【中】6. 已知是二次函数，不等式的解集是 ，且在区间
上的最大值是12.(1)求的解析式；(2)是否存在自然数，使得方程在
区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有的值；若不存在，请说
明理由．

【难】7. 设函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）设讨论函数的单调性；（3）设函数，是否同时存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由.

【难】8. 设函数，（1）求的单调区间；（2）求的零点个数。

导数综合
类型一:导数与其它
☞考点说明：导数与函数、不等式、解析几何及实际应用问题结合的题型，其特点是：难度大，综合考点多，方法应用要灵活。
【易】1. 已知函数，是常数，．⑴若是曲线的一条切线，求的值；⑵，试证明，使．

【易】2. 设函数.当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.

【易】3. 已知函数．⑴试讨论在定义域内的单调性；⑵当＜－1时，证明：，．

【易】4. 已知函数，设（1）是否存在唯一实数，使得，若存在，求正整数的值；若不存在，说明理由。（2）当时，恒成立，求正整数n的最大值。

【中】5. 已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值（2）若对任意实数恒成立，确定实数的取值范围（3）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，说明理由

【中】6. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

【中】7. 已知函数，其中为实数，(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在实数，使得对任意，恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．

【难】8. 已知函数，当时，设函数，若，求证。

【难】9. 已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线.(1) 当时, 求的最大值;(2) 设直线与曲线的交点的横坐标分别为, 且, 求证: .

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