chapter向量与向量空间小结.pptx

一、内容小结一、内容小结3.n维向量组维向量组 及相关概念及相关概念1.向量向量 代数代数2.空间解空间解 析几何析几何一、内容小结一、内容小结向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念1.向量代数向量代数(1)(1)向量的概念向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、相等向量、相等向量、负向量、负向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、1)加法：加法：(2)(2)向量的线性运算向量的线性运算2)减法：减法：3)向量与数的乘法：向量与数的乘法：向量的分解式：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：(3)(3)向量的表示法向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式(4)(4)数量积（点积、内积）数量积（点积、内积）数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式(5)(5)向量积（叉积、外积）向量积（叉积、外积）向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式/()()混合积混合积2.空间解析几何空间解析几何平面平面点法式方程点法式方程一般方程一般方程三点方程三点方程截距式方程截距式方程平面束方程平面束方程直线直线一般方程一般方程参数方程参数方程两点方程两点方程对称式方程对称式方程(1)直线及其方程直线及其方程(2)平面及其方程平面及其方程(3)化空间直线的一般方程为标准方程化空间直线的一般方程为标准方程由对称式方程可得所求由对称式方程可得所求.(4)距离距离(5)平面及直线间的位置关系平面及直线间的位置关系平面与平面平面与平面:直线与直线直线与直线:平面与直线平面与直线:已知已知 与与L,求交点求交点:从而可得交点从而可得交点.()投影及公垂线问题投影及公垂线问题点在直线或平面上的投影点在直线或平面上的投影.点关于直线或平面的对称点点关于直线或平面的对称点.直线在平面上的投影直线在平面上的投影.两异面直线的公垂线两异面直线的公垂线:3.n维向量组及相关概念维向量组及相关概念(1)线性相关与线性无关线性相关与线性无关则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关结结论论1结结论论2结结论论3结论结论4.一个向量线性相关一个向量线性相关.结论结论5.两个向量线性相关两个向量线性相关对应分量成比例对应分量成比例.结论结论.含有零向量的向量组线性相关含有零向量的向量组线性相关.结结论论结论结论8.结论结论9.等价的线性无关向量组含有相同个数的向量等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.结论结论10.n k个个n维向量必线性相关维向量必线性相关.(2)向量组的秩与极大无关组向量组的秩与极大无关组 定义定义结论结论1.最大线性无关组不唯一最大线性无关组不唯一.结论结论2.向量组与任一个最大线性无关组等价向量组与任一个最大线性无关组等价.结论结论3.向量组的任两个最大线性无关组等价向量组的任两个最大线性无关组等价.结论结论4.一个向量组中一个向量组中,任意两个最大无关组所含向量任意两个最大无关组所含向量个数相同个数相同.定义定义 向量组向量组T 中最大线性无关组所含向量的个数叫做中最大线性无关组所含向量的个数叫做向量组向量组T 的秩的秩.记为记为rank(T).(3)向量空间向量空间 定义定义 设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间(4)Schimidt正交化方法正交化方法二、题型及方法二、题型及方法1.向量的运算及应用向量的运算及应用2.求空间直线方程求空间直线方程3.求平面方程求平面方程4.求距离求距离5.求投影求投影.讨论向量组的线性相关与线性无关讨论向量组的线性相关与线性无关.求向量组的秩与极大无关组求向量组的秩与极大无关组8.将线性无关向量组正交化单位化将线性无关向量组正交化单位化1.向量的运算及应用向量的运算及应用Solution.Solution.可设其单位向量为可设其单位向量为得其单位向量为得其单位向量为:故所求向量为故所求向量为:Solution.Solution.Solution.Solution.Solution.Method1.解得解得(x,y,z)即为所求即为所求.Method2.2.求空间直线方程与平面方程求空间直线方程与平面方程 Solution.可设平面方程为可设平面方程为Solution.由点法式得，由点法式得，也可用一般式方程来解也可用一般式方程来解.Solution.Method1.Method2.所求平面的法向量为所求平面的法向量为Solution.故所求直线方程为故所求直线方程为:Method1.先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为Method2.由于与已知直线垂直相交得由于与已知直线垂直相交得,Solution.3.求距离与投影求距离与投影 Solution.公垂线方程为公垂线方程为:Solution.4.讨论向量组的线性相关与线性无关讨论向量组的线性相关与线性无关Proof.另解另解所以结论成立所以结论成立.5.求向量组的秩与极大无关组求向量组的秩与极大无关组Solution..将线性无关向量组正交化单位化将线性无关向量组正交化单位化ex19.用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交化单位化正交化单位化.Solution.正交化：正交化：单单位位化化The end