1、2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学全国1卷
一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确答案。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是（，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至
2、肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm
5.函数在上的图像大致为（ ）
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为
阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B.
3、 C. D.
8.右图是求的程序框图，图中空白中应填入（ ）
A. B. C. D.
9.记为等差数列的前项和。已知，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A,B两点，
若,，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
11.关于函数有下述四个结论：
①是偶函数 ②在区间单调递增 ③是在有4个零点 ④的最大值是2
其中所有正确的结论的编号是（ ）
A.①②④ B. ②④ C.①④ D.①③
12.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=
4、PC，△ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本小题4个小题，每个小题5分，共20分。
13.曲线在点（0,0）处的切线方程为 。
14.记为等比数列的前n项和，若，则 。
15.甲乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，比赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
5、甲队以4:1获胜的概率是 。
16.已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点。若，则C的离心率为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22,23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为。设
（1）求A;（2）若，求
18.（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是的中点。
（1）证明：MN∥平面
（2）求二面角的正弦值
19
6、12分）已知抛物线的焦点为F，
斜率为的直线与的交点为A,B，与x轴的交点为P。
（1）若，求的方程
（2）若，求
20.（12分）
已知函数为的导数。证明：
（1）在区间存在唯一极大值点
（2）有且仅有2个零点
21.（12分）为治疗某种疾病，研制了甲乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验。实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每
7、轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲乙两种药治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为
（1）求的分布列
（2）若甲药，乙药在实验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，
则，其中，.
假设
（i） 证明：为等比数列
（ii） 求，并根据的值解释这种实验方案的合理性。
（二）选考题：共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1） 求和的直角坐标方程
（2） 求上的点到距离的最小值
23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知为正数，且满足，证明：
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
