高考文科数学圆锥曲线专题复习.doc

高三文科数学专题复习之圆锥曲线
知识归纳：
名 称
椭圆
双曲线

图 象

定 义

平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即
当2﹥2时，轨迹是椭圆，
当2＝2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2＝2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
常数的关 系
，，
最大，
，
最大，可以
渐近线

焦点在轴上时：
焦点在轴上时：

抛物线：
图形

方程

焦点

准线

（一）椭圆
1. 椭圆的性质：由椭圆方程
（1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。
（2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点：，。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。。。
椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为是椭圆在时的特例。
2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式
3. 椭圆的准线方程
对于，左准线；右准线
对于，下准线；上准线
焦点到准线的距离（焦参数）

（二）双曲线的几何性质：
1. （1）范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。
（2）顶点
顶点：，特殊点：
实轴：长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。
（3）渐近线
过双曲线的渐近线（）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：e>1
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
2. 等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率。
3. 共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成。
4. 共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。
5. 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。
6. 双曲线的准线方程：
对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；
焦点到准线的距离（也叫焦参数）。
对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。

（三）抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。

【典型例题】
例1. 根据下列条件，写出椭圆方程
（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；
（2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；
（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是。
分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。
解：（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上
因此有两解：
（2）焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,（a>b>0），由已知条件有，故方程为。
（3）设椭圆方程为,（a>b>0）
由题设条件有及a2＝b2＋c2，解得b＝
故所求椭圆的方程是。

例2. 直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
解：把代入
整理得：……（1）
当时，
由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点
若A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或。
故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。

例3. 已知抛物线方程为（p>0），直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。
解：设与抛物线交于
由距离公式|AB|＝
则有
由

从而
即
由于p>0，解得
例4. 过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.
解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，
(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,
又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,
于是－=－1,kAB=－1,
设l的方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.
解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为yk(x－1),
将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,
则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.
直线l：y=x过AB的中点(),则,
解得k=0，或k=－1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.
解法3：设椭圆方程为
直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。
故可设直线

，

，，，
，，
，，
，，，
，，
则，
，，
，
所以所求的椭圆方程为：

例5. 如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.
解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.
设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)
由e2=，得.
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x
设点P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),
则由点P分所成的比λ==2,
得P点坐标为(),
又点P在双曲线=1上，
所以=1,
即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①

即x1x2= ②
由①、②得a2=4,b2=9
故双曲线方程为=1.
例6. 已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.
（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.
解：（1）设

【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一、 选择题
1. 是任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
2. 已知椭的一条准线方程是，则实数的值是（ ）
A. 7或－7 B. 4或12 C. 1或15 D. 0
3. 双曲线的离心率，则的取值范围为（ ）
A. B. （－12，0） C. （－3，0） D. （－60，－12）
4. 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　　　）
A. B.
C. D.
5. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点A（－2，1），的焦点为F，P是的点，为使取得最小值，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的渐近线方程为，一条准线方程为，则双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 抛物线到直线距离最近的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9. 动圆的圆心在抛物线上，且动圆与直线相切，则动圆必过定点（ ）
A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，－2）
10．中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )

二、填空题
11. 到定点（2，0）的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为______________。
12.双曲线的一条准线是，则___________。
13. 已知点（－2，3）与抛物线的焦点距离是5，____________。
14．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为________________。
三、解答题
15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且＝4，求双曲线方程。

16. 过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，为右焦点。
求：的最值

17. 已知椭圆的一个焦点为，对应的准线方程为，且离心率满足， 成等比数列。
（1）求椭圆的方程。
（2）试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在，求出的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。

18. 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
【试题答案】
1. C 2. C 3. B 4. A 5. B
6. A 7. A 8. B 9. B 10.C
11.
12. － 13. 4 14. =1
15. 解：设所求双曲线方程为（a>0，b>0），由右焦点为（2，0）。知c＝2，b2＝4－a2
则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：（20－8a2）x2＋12a2x＋5a4－32a2＝0
设M（x1,y1）,N（x2,y2）,则

解得：，
故所求双曲线方程为：
16. 解：直线：为参数
、为与椭圆的交点
∴
∴

∴ 时时
17. 解：（1）依题意，成等比数列，
可得
设P（）是椭圆上任一点
依椭圆的定义得

化简得
即为所求的椭圆方程
（2）假设存在
因与直线相交，不可能垂直轴
所以设的方程为：
由
消去得，
有两个不等实根

设两交点M、N的坐标分别为

线段MN恰被直线平分

即

代入得

直线倾角的范围为
解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.
由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4.
点A到直线l的距离为d=.
∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.
∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.

１４

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