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2019年考研数学一真题
一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.当时，若与是同阶无穷小，则
A.1. B.2.
C.3. D.4.
2.设函数则是的
A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.
C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点.
3.设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
A. B..
C.. D..
4.设函数，如果对上半平面（）内的任意有向光滑封闭曲线都有，那么函数可取为
A.. B..
C.. D..
5.设
2、是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵.若，且，则二次型的规范形为
A.. B..
C.. D..
6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则
A.
B.
C.
D.
7.设为随机事件，则的充分必要条件是
A.
B.
C.
D.
8.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则
A.与无关，而与有关.
B.与有关，而与无关.
C.与都有关.
D.与都无关.
二、 填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.
9. 设函数可导，则= .
10. 微分方程满足条件的特解 .
3、
11. 幂级数在内的和函数 .
12. 设为曲面的上侧，则= .
13. 设为3阶矩阵.若 线性无关，且，则线性方程组的通解为 .
14. 设随机变量的概率密度为 为的分布函数，为的数学期望，则 .
三、 解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
设函数是微分方程满足条件的特解.
（1）求；
（2）求曲线的凹凸区间及拐点.
16.（本题满分10分）
设为实数，函数在点（3，4）处的方向导数中，沿方向的方向导数最大，最大值为10.
（1）求；
（2）求曲面（）的面积.
4、
17.求曲线与x轴之间图形的面积.
18.设，n=（0，1，2…）
（1）证明数列单调减少，且（n=2，3…）
（2）求.
19.设是锥面与平面围成的锥体，求的形心坐标.
20.设向量组，为的一个基，在这个基下的坐标为.
（1）求.
（2）证明，为的一个基，并求到的过度矩阵.
21.已知矩阵与相似
（1）求.
（2）求可可逆矩阵，使得
22.设随机变量与相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为令
（1）求的概率密度.
（2）为何值时，与不相关.
（3）与是否相互独立?
23.（本题满分11分）
设总体的概率密度为
其中是已知参
5、数，是未知参数，是常数，来自总体的简单随机样本.
（1） 求；
（2） 求的最大似然估计量
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学一）
1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.C 8.A
9.
10.
11.
12.
13. 为任意常数.
14.
15. 解：（1），又，
故，因此
（2） ，
，
令得
凸
拐点
凹
拐点
凸
拐点
凹
所以，曲线的凹区间为和，凸区间为和,拐点为，，.
16. 解：（
6、1），，
由题设可得，，即，又，
所以，
（2）=
= ===
17.
18.
19.由对称性，，
=
20.（1）即，
解得.
（2），所以，则可为的一个基.
则.
21.（1）与相似，则，，即，解得
（2）的特征值与对应的特征向量分别为
，；，；，.
所以存在，使得.
的特征值与对应的特征向量分别为
，；，；，.
所以存在，使得.
所以，即
其中.
22.解：（I）的分布函数
从而当时，；当时，
则的概率密度为.
（II）由条件可得，又，从而当时，，即不相关.
（III）由上知当时，相关，从而不独立；当时，而，，显然，即不独立. 从而不独立.
23. 解：（I）由，令，则，
从而.
（II）构造似然函数，当时，取对数得，求导并令其为零，可得，解得的最大似然估计量为.
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