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第3讲 基本初等函数

(第一种方式)
(第一种方式)
多项式函数和指数函数是高中出现频率很高的函数，我们经常进行这些函数的有关计算，却很少考虑这些函数在生活中的实际应用.本文尝试利用这些基本初等函数建立数学模型来解决一个比较有兴趣的实际问题.衡量一个数学模型的优劣全在于它的应用效果，而不在乎它是不是采用了多么高深的数学知识方法.本文建立了五种不同数学模型，比较了不同模型估计鱼的体重与实际重量情况的误差，并进一步推广，用类比法建立某些动物身长和体重关系的模型.
相信大家都看过鱼，鱼的形状不规则，我们能不能考虑用鱼身体的某些长度参数来估计鱼的体重呢？众所周知鱼的身长越长，鱼的重量也会越重.现在我们建立适当的模型研究鱼的重量与鱼的体长参数之间的数学关系.本文将从分析如何根据鱼的身长和胸围长度来估计鱼的体重的方法出发，进而研究动物的身长和体重的关系.
我们测量到11条的数据，如下表所示：
身长cm
36.7
30.1
44.1
36.8
45.1
35.9
31.8
32.1
胸围cm
24.7
21.2
27.8
24.6
31.7
22.9
21.7
20.9
重量g
764.0
480.0
1159.0
739.0
1389.0
652.0
481.9
467.8
有了数据之后，我们想建立数学模型研究这个问题，先做如下假设：只有一种鱼，同一种鱼整体形状是相似的，密度是均匀的.
模型的建立
这个初等数学模型中的主要符号说明如下所示：
y——鱼的体重；
x——鱼的身长；
t——鱼的胸围，即鱼的最大周长（这里取鱼的胸围）；
a，b，c，d——前四种函数模型中的系数；
K--第五种数学模型中的系数；
由高等数学数据拟合的知识可知：对单变量多项式拟合一般不超过3次.故此处考虑如下五中模型：
假设鱼的体重只与体长x有关，我们可以采用多项式和指数函数拟合一下四种数学模型.
1.建立的关于体长x的单变量模型:
一次函数模型：；
二次函数模型：即；
三次函数模型：即；
指数型函数模型：即；
通常有一些鱼是很胖的，生活的直觉告诉我们鱼的重量也应该与鱼的横截面有关，所以人们就不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待.假设鱼的模截面是相似的，而横截面积与鱼的胸围的平方成正比，于是我们可以得到如下模型：
2.二元函数模型为：即，为比例系数.
模型拟合求解：
用casio图形计算器的统计功能拟合前四种模型，输入数据得到如下表格

然后进行回归操作可以得到如下图像

借助casio图形计算器计算相关平均值为： =790.7580 ,=24.94545 , =37.18545,
将上述数据代入计算得：≈0.03217336
为了方便集中模型的对比，我们分别是用上面五种回归方程，根据每条鱼的长度和胸围计算出每条鱼体重的估计值，并求出残差的绝对值的和，可以得到如下表格：
实际重量
764.0
480.0
1159.0
739.0
1389.0
652.0
481.9
467.8
652.0
751.3
1162.3
平均误差
误差%
模型一
799.2
419.4
1225.0
804.9
1282.5
753.1
517.2
534.5
753.1
804.9
1207.7

误差
35.2
60.6
66.0
65.9
106.5
101.1
35.3
66.7
101.1
53.7
45.4
67.0
8.478
模型二
776.5
517.1
1283.6
781.9
1369.7
735.4
566.5
576.5
735.4
781.9
1258.6

误差
12.5
37.1
124.6
42.9
19.3
83.4
84.6
108.7
83.4
30.6
96.3
65.8
8.317
模型三
747.8
475.4
1153.9
746.1
1385.0
761.1
674.1
696.3
761.1
746.1
1096.4

误差
16.2
4.6
5.1
7.1
4.0
109.1
192.2
228.5
109.0
5.2
65.9
67.9
8.588
模型四
747.4
479.2
1230.2
752.5
1315.9
708.2
537.3
548.3
708.2
752.5
1205.6

误差
16.6
0.8
71.2
13.5
73.1

56.2
55.4
80.5
56.2
1.2
43.3
42.5
5.379
模型五
720.4
435.2
1096.5
716.5
1458.1
605.7
481.8
451.1
676.4
740.0
1243.0

误差
43.6
44.8
62.5
22.5
69.1
46.3
0.1
16.7
24.4
11.3
80.7
38.4
4.851
结论：
由上表格可以看出：五种模型的平均误差分别为：8.478%，8.317%，8.588%，5.379%,4.851%.结果表明，第五种数据估计模型与实际情况的误情况的误差控制在5%以下，估计体重与真是体重最接近，与实际最相符.前几种数据估计模型多项式函数拟合和指数函数拟合，只是简单的认为重量y与身长x相关，提出的鱼的整体形状是相似的、密度也大体上相同的假设与实际情况相差太远，不适合实际应用.第五种数据估计模型中认为鱼的重量不但与鱼的长度相关，还与鱼的横截面相关，这种建模方法更符合实际情况，模型的计算结果也表明它与实际情况的误差更小.现实生活中在要求不是很严格的情况下，用鱼的体长参数估计出鱼的重量还是可以行的，我们可选用来建立数学模型.
(第二种方式)
指数函数是基本初等函数之一，它不仅是一种重要的初等函数，同时，它在疾病控制与统计、工业生产、计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学、物理学等领域有着广泛的应用.
一、地球年龄的测算
公元1896年,法国物理学家贝克勒尔发现,铀的化合物能放射出一种肉眼看不见的射线,这种射线可以使它在黑纸里的照相底片感光。这种现象引起了女科学家玛丽·居里的注意。居里夫人想,该不是只有铀才能发出射线吧!经她悉心研究,终于又发现了一些放射性更强的元素。
1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射生物质在放出射线的同时，本身有一部分“蜕变”为其他物质。这种蜕变的规律是：一种物质放出射线后，这种物质的量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢。物质所剩的量与时间成指数函数关系。这种函数我们还没有学过，但可以从函数的图象中来认识它的变化规律。下图为

由图象我们可以发现：镭的质量由m0缩减到1/2m0。约需1620年，由1/2m0缩减到1/4m0约需3240-1620=1620（年），由、1/4m0缩减到1/8m0约需4860-3240=1620（年），即镭的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量—1620年，一般把1620称为镭的半衰期。
经过科学家不懈努力,人们终于弄清了放射性蜕变的量的规律:m=m0e－kt.
下面我们计算一下,究竟需要多长时间,才能使放射性物质蜕变为原来的一半.为此,令m=m0,则= e－kt从而.这是一个常量,它只与放射性物质本身有关,称为该放射性物质的半衰期.下表列的是一些重要放射性物质的半衰期.
元素
同位素符号
半衰期
钍
Th232
1.39×1010年
铀Ⅰ
U238
4.56×109年
铀Ⅱ
U234
2.48×105年
镭
Ra226
1620年
钋Ⅰ
Po210
138天
钋Ⅱ
Po214
0.16秒
钋Ⅲ
Po216
1.5×10－4秒
铀是最常见的一种放射性物质,由上表得知,它的半衰期为45亿6000万年.也就是说,过45亿6000万年之后,铀的质量剩下原来的一半.由于铀蜕变后,最后变成铅,因此,我们只要根据岩石中现在含多少铀和多少铅,便可以算出岩石的年龄.科学家们正是利用上述的办法,测得地球上最古老岩石的年龄为30亿年.当然,地球年龄要比这更大一些,估计有45～46亿年.
二、“特拉波科罗”号事件
你记得儒勒·凡尔纳书里的竞技大力士马蒂夫吗？“头大身高，胸膛像铁匠的风囊，腿像粗壮的木柱，胳膊像起重机，拳头像铁锤……”这位大力士的功劳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里叙述得很多，可是使读者印象最深的，大概是他用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事。
关于这件事，小说的作者是这样告诉我们的：
已经移去了两旁撑住船身的支持物,船准备下水了.只要把缆索解开,船就会滑下去.已经有五六个木工在船的龙骨底下忙着,观众满怀好奇心注视着这件工作.这时候却有一艘快艇绕过岸边凸出的地方,出现在人们的眼前.原来这艘快艇要进港口,必须经过“特拉波科罗”号准备下水的船坞前面.所以一听见快艇发出信号,大船上的人为了避免发生意外,就停止了解缆下水的操作,让快艇先过去.假使这两条船,一条横着,另一条用极高的速度冲过去,快艇一定会被撞沉的.
工人们都停止了工作,所有的眼睛全都注视着这只华丽的船,船上的白色篷帆在斜阳下象镀了金一样.快艇很快就出现在船坞的正前面.船坞上成千的人都出神地看着它.突然听到一声惊呼,“特拉波科罗”号正当快艇的右舷对着它的时候,开始摇摆着滑下去了.两条船就要相撞了!已经没有时间、没有方法能够防止这场惨祸了.“特拉波科罗”号很快地斜着向下面滑去……船头上卷起了因摩擦而起的白雾,船尾已经没入了水.
突然出现了一个人(马蒂夫),他抓住“特拉波科罗”号前部的缆索,用力地拉,几乎把身子弯得接近了地面.不到一分钟,他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上.他冒着被摔死的危险,用超人的气力,用手拉住缆索大约有10秒钟.最后,缆索断了.可是这10秒钟时间已经很足够, “特拉波科罗”号进水以后,只轻轻擦了一下快艇,就向前驶去!
快艇脱险了. 至于这个使这件发生得很快的意外事件没有造成惨祸的人──当时甚至别人来不及帮助他──就是马蒂夫。
假使小说的作者听到说，这样的功劳并不需要一个像马蒂夫那样的“力大如虎”的巨人，而是每一个机智的人都能干的话，那他一定会非常惊奇。
力学告诉我们，缠在桩上的绳索，在滑动的时候，摩擦力可以达到极大的程度。绳索绕的圈数越多，摩擦力也就越大。摩擦力增长的规律是：如果因数按照算术级数加多，摩擦力就按照几何级数增长。所以就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物。在河边的轮船码头上，常常有一些少年，就用这个方法使载着几百个乘客的轮船靠码头。原来在这里帮助他们的，并不是他们异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力。
公元1748年,瑞士数学家欧拉在他的传世之作《无穷小分析引论》中研究了滚轮摩擦的问题.欧拉发现:T=T0 e－ka,其中k为摩擦系数,负号是因为问题中张力的值是减少的.这就是著名的欧拉滚轮摩擦公式.下面我们就用这一公式分析一下那位力挽狂澜的“大力士”所用的力气是多少?
假定“特拉波科罗”号船体重50吨,船台坡度为1:10,那么船的下滑力约为5吨,即5000kg;再假设马蒂夫来得及把缆索在铁桩上绕了3圈,即a=6;而绳索与铁桩之间的摩擦系数为k=0.33.
将上述数值代入欧拉公式,可得马蒂夫拉住绳子另一头所需要的气力为T=5000≈0.043 kg.
马蒂夫实际上所用的力气不足10 kg,这是连一个少年都能做到的!
三、“玫瑰花悬案”
拿破仑是一位与数学有缘的人，几何学上的一个定理是他发现并证明的，这条定理是：若在任意三角形的各边向外作等边三角形，则它们的外接圆圆心也构成一个等边三角形.然而，这位显赫的将军，却在无意中陷进了指数效应的旋涡！公元1797年，当拿破仑参观国立卢森堡小学的时候，赠上了一束价值三个金路易（一个金路易相当于20个法郎）的玫瑰花，并不假思索地许诺说：“只要法兰西共和国存在一天，我将每年送一束价值相等的玫瑰花，以此作为两国友谊的象征.”此后，由于连年的征战，拿破仑忘却了这一诺言！
公元1894年，相隔97年后，卢森堡王国郑重向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”.要求法国政府在拿破仑的声誉和巨额的债款中，二者选取其一.这笔高额巨款，自1797年起，以3个金路易作为一束玫瑰花的本金，以五厘复利记息（就是利滚利）结算。这一历史公案使法国政府陷入极为难堪的局面！这笔债款应该是多少呢？
这笔债款应该是60(1+5%)97≈1375596(法郎).
法政府本拟不惜重金去赎回法国一代天骄的荣誉。但财政部长一瞧电子计算机输出的数据，不禁目瞪口呆，原来本息已近乎天文数字！最后，法国政府只好用外交手段取得卢国公民的谅解，并公开承诺：今后法国将始终不渝地对卢森堡的中小学教育事业予以支持和赞助，来兑现拿破仑重于千金的许诺！自此，法国和卢森堡之间长达一百八十多年的"玫瑰花悬案"始得以解决。
四、澳大利亚兔子数“爆炸”
  澳大利亚素有“骑在羊背上的国家”之称。这个孤悬于海洋中的大陆生态独成一境，那里生活着其他大陆没有的可爱动物：袋鼠、考拉、鸸鹋、鸭嘴兽等。长期的“闭关锁国”，使澳洲大陆几乎丧失了对外大陆生物的竞争力。一旦其他生物“入侵”这块大陆，居安已久的“土著”生物往往顶不住入侵者的侵袭，屡战屡败。于是在澳洲大陆上，让人伤透了脑筋的“生态爆炸”就频频发生了……
令人头痛的“兔灾”曾困扰澳大利亚100多年。澳洲本来是没有兔子的，人们要看兔子只能到动物园去。1859年，墨尔本动物园从欧洲运来了24只兔子让人们观赏。1863年的一天，动物园发生了一场大火，幸存的兔子逃到草原上成了野兔。澳大利亚辽阔的草原牧草肥美，气候温暖干燥，而且没有凶猛的肉食动物，十分适宜兔子的生存。不到100年它们的后代就已遍布全澳洲，总数达到40亿只，并很快占据了澳洲大陆南部几乎三分之二的土地。“兔口”是人口的400倍，这太可怕了！兔子吃掉了牛羊的饲草，使澳洲牧业一落千丈，据称它们吃掉的牧草足够养活1亿只羊。越来越多的兔子在草场上打洞安家，使草原牧场满目疮痍。兔子们还将草原上除大树外的植物一扫而光，从而产生了严重的水土流失和沙荒。
人们不得不对兔子“宣战”。澳大利亚政府成立了“消灭野兔委员会”，全副武装的军队开出营房，对兔群发动了在兵团作战式的“围剿”：火攻、毒杀、网捕、犬猎、机枪扫射、坦克碾压，火烧牧场的结果反而使牧场变成了荒原。人们又下砒霜想毒死兔子，结果反而使袋鼠、鸵鸟等珍稀动物受害。人们又将铁丝网埋进10米深的地下，上面架上5米高的围墙，为的是防止兔子从地下打洞，或从高处跳进牧场，结果兔子学会了爬越5米高的围墙。
最后，人们采用了残酷的细菌战。1996年，在澳大利亚的沃加城附近，20只已感染了出血症病毒的兔子被放进了一望无际的草原，这种病毒可以使兔子在24小时内因内脏大量出血而毙命。就这样科学家杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。
一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的。