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LRB隔震桥梁双向耦合非线性地震反应分析
摘 要 为了研究铅芯橡胶支座（LRB）隔震桥梁在双向水平地震激励下的非线性地震反应，首先建立了模拟水平正交两向作用力条件下LRB支座非线动力行为的双向耦合弹塑性恢复力模型，这一双向耦合弹塑性模型中的单向力和变形关系的骨架曲线为双线性。在此基础上，提出了一种双向水平地震激励下多跨连续LRB隔震桥梁的非线性地震反应分析模型以及求解方法，并对考虑和忽略LRB支座恢复力的双向耦合作用时隔震桥梁的非线性地震反应进行了算例比较分析，研究表明这种双向耦合作用对隔震桥梁的地震反应有重要影响，如果忽略这些相互作用的影响，支座位移的峰值将被低估，这对隔震桥梁设计是不利的。
关键词 隔震桥梁 铅芯橡胶支座 双向耦合弹塑性模型 非线性地震反应
Bi-directional Coupled Nonlinear Seismic
Responses of Isolated Bridges with LRB
Abstract In order to investigate the nonlinear seismic responses of isolated bridges with lead rubber bearings (LRB) under bi-directional horizontal earthquake excitation, the bi-directional coupled elastic-plastic model of force-deformation behavior of LRB under two horizontal orthogonal directional excitation is established, and the unidirectional force-deformation behavior skeleton curve of this bi-directional coupled elastic-plastic model is considered as bilinear. Based on the bi-directional coupled elastic-plastic model of LRB, an analytical model of nonlinear seismic responses of continuous multi-span isolated bridges with LRB and its solving method are presented. Finally, the comparison of the calculation results of nonlinear earthquake responses obtained by considering and ignoring the bi-directional coupled interaction of bearing restoring force is made for the one example of the isolated bridges with LRB. It is shown that the bi-directional coupled interaction of the restoring forces of LRB has considerable effects on the seismic responses of the isolated bridge. If these couple interaction effects are ignored, then the peak bearing displacements are underestimated, which can be crucial from the design of isolated bridges.
Key words isolated bridge lead rubber bearings bi-directional coupled elastic-plastic model nonlinear seismic response
1引言
减小桥梁地震反应的减、隔震工程措施通常有两种。一种是采用隔震装置，这一方式是通过改变桥梁结构体系的自振频率来错开地震能量相对集中的频段，从而达到减小桥梁地震反应的目的；二是采用耗能装置，直接耗散传递到桥梁结构体系的部分能量以达到减小桥梁地震反应的目的。铅芯橡胶支座作为一种隔震装置已被广泛应用于了桥梁抗震。
关于铅芯橡胶支座隔震桥梁地震反应研究已做了很多工作。Huang和Chiou等(1996)使用识别算法，建立了铅芯橡胶支座隔震桥梁地震反应分析的等效线性化模型[1]。Ghobarah和Ali等(1998)的研究工作也证实了铅芯橡胶支座对减小桥梁地震反应是有效的[2]。Pagnini和Solari等(1999)使用等价线性化方法对铅芯橡胶支座和滞后耗能器组成的隔震系统的三跨连续桥梁结构进行了随机地震反应分析[3]。Huang 和Fenves等（2000）对桥梁隔震支座的双向性能进行了试验研究，并提出了相应的计算模型[4]。Gordon和Andrew等（2004）对地震激励下单个支座上的最大支座位移、能量需求性等性能进行了评估和分析[5]。国内，李建中等（1998）利用非线性水平和转动弹簧分别模拟减、隔震支座和桥墩延性塑性铰的非线性行为，研究了减、隔震支座和桥墩延性对桥梁地震反应的减震效果[6]。朱东生、劳远昌等（2000）在输入多条具有相同反应谱和时域内强度包线形状相似的地震波的条件下，对铅芯隔震支座桥梁进行了非线性时程分析，获得了铅芯隔震桥梁地震反应的离散性很大、其最大

响应对地震动输入时程十分敏感的认识[7]。王丽、阎贵平等（2002）也利用非线性水平和转动弹簧分别来模拟减、隔震支座和桥墩延性的非线性行为，分析了铅芯橡胶支座隔震桥梁的减震性能，并讨论了铅芯橡胶支座在桥墩线性范围内时的减震效果，初步研究了屈服强度和屈服比对隔震效果的影响[8]。吴彬（2003）对铅芯橡胶支座的基本力学性能进行了试验研究，在此基础上，分析了单墩模型的动力响应特性以及铁路桥梁的动力响应[9]。
值得注意的是，前面的研究多是基于单向（一维）地震分力作用下（多是顺桥向地震动输入）对减、隔震桥梁体系进行的地震反应分析，因此，铅芯橡胶支座的力—变形的关系是一维的恢复力模型。文献[4]虽然对隔震支座双向性能进行了试验研究，但并没有分析其对隔震桥梁地震反应的影响，文献[5]虽考虑了隔震支座双向性能，但也只限于对单跨简支梁桥的单个支座的最大位移和能量需求进行评估，没有对隔震多跨连续桥梁的地震反应进行研究。事实上，地震作用是多向的，考虑多向地震作用条件下隔震桥梁体系的地震反应时，铅芯橡胶支座的一维恢复力模型有明显的局限，这时有必要研究铅芯支座在两水平正交方向力的作用下的双向耦合的弹塑性恢复力模型，并在此基础上提出隔震桥梁在双向水平地震作用下的非线性地震反应分析模型及其求解方法，研究铅芯橡胶支座水平双向耦合作用恢复力对隔震桥梁非线性地震反应的影响。
2 LRB支座双向力—变形耦合弹塑性模型
LRB支座的双向恢复力模型表示为一个弹性硬化分力和滞后分力的组合，写为：
（1）
这里，，是支座两正交水平方向的恢复力。是屈服后硬化刚度矩阵，是两正交水平方向的平移变形，并假定支座的水平恢复力只取决于平移剪切变形。是滞后分力，可由下式计算得
（2）
这里，是屈服前刚度矩阵， 是塑性位移。
图1为单向力—位移关系时的双线性弹塑性模型示意图。图示符号为式(1)、(2)中矩阵向量的相应元素。k1是单向力作用下屈服前刚度，k2是单向力作用下屈服后刚度，qd是单向力作用下零位移-力截距。
对于双向恢复力模型，屈服面假定为圆形：
（3）
这里，是屈服前刚度矩阵是零位移-力截距。
塑性位移是按照塑性流动规则决定的：
（4）

这里，，是塑性系数。
依据Kuhn-Tucker加载/卸载条件[10]，有：
，， （5）
连续性条件：
（6）
ux,(uy)
kP
k2ux,(uy)
2qd
fx, (fy)
ux(uy)
up
ux, y
k1
qd
k2

图1 单向力位移关系的双线性弹塑性模型
Simo和Hughes提出的塑性映射返回算法[10]可以用来计算给定位移时程u的恢复力F。
塑性力率为
（7）
这里，可从得到
（8）
把式（8）代入式（7），可得
（9）
恢复力率为
（10）

X是2×2单位矩阵。
3 LRB隔震桥梁结构非线性地震反应分析模型及求解
图2(a)显示了多跨连续隔震桥梁体系的立面图。桥梁的下部结构由刚性的桥台和钢筋混凝土桥墩组成。隔震桥梁地震反应分析中假设如下：
1. 在地震激励过程中，隔震桥梁上部结构和桥墩保持弹性。
2. 隔震桥梁的桥面是直的，在桥纵轴方向由桥墩支撑，桥墩和桥面是正交的，对规则或对称桥梁结构，扭转反应是可以忽略的。桥台假定为刚性，桥墩假定刚性固结在基础上，即桥梁建造在坚硬的土壤或岩石上，不考虑土—结构相互作用影响。
3. 桥梁的上部结构和下部结构被离散成集中质量体系，见图2(b)，每个节点有两个自由度。在桥梁的纵向和横向上考虑地震动的两个水平分力同时作用。
4. LRB的力-变形关系采用双向耦合弹塑性模型。

(a)

(b)
图2 隔震桥梁立面图和多自由度双向桥梁模型

在地震地面运动两水平分力作用下，图2(b)所示的隔震桥梁离散系统的方程可表述为下列矩阵形式：
（11）
（12） （13）
这里，，分别代表桥梁离散体系的2N×2N阶质量、阻尼、刚度矩阵；，，

分别代表加速度，速度和位移向量；代表LRB恢复力的局部关系矩阵；是LRB的恢复力向量；是矩阵影响系数；是地震加速度向量；分别代表纵向和横向地震地面加速度；分别代表桥梁第i节点纵向和横向的位移。
由于式（11）是非线性方程，可以用增量方法求解，其增量形式可以表述为
（14）
这里的是LRB恢复力向量的增量。
向量可表述为
15）
这里的分别是LRB的粘滞阻尼和屈服后刚度组成的2N×2N矩阵，是包括LRB恢复力的滞后分量增量在内的恢复力的增量。
对于由支座上下两点位移作为变量表述的支座单元模型，弹性范围内的支座单元刚度可表述为
（16）
这里，X是2×2单位矩阵
在塑性增量步中对于由支座上下两点位移作为变量表述的支座单元模型的刚度矩阵为
（17）
下面假设在很小的时间间隔内，加速度是线性变化的，增量方程（14）和（15）可改写为
（18）
这里
（19） （20）
这里的a0=6/Δt2，a1=-6/Δt，a2=-3，b0=3/Δt，b1=-3，b2=-Δt/2。上标表示时间。
通过使用Runge-Kutta迭代方法求解增量方程（20），可以得到体系在时间t+Δt的反应。本文取Δt=0.001用来计算隔震和非隔震桥梁体系的地震反应。
4双向地震作用下LRB隔震桥梁非线性地震反应的实例分析

某四跨连续桥梁，跨长4×30 m，钢筋混凝土桥墩和预应力薄壁箱梁的桥面，桥墩为圆形墩，桥墩高为10m，桥台为刚性，桥墩与地面刚性连接。上部结构截面积为3.46 m2，梁体重9980KN，桥墩的抗弯惯性矩为0.548m4，混凝土的弹性模量为2.5×107KN/m2。
下面分析了在三个实际场点地震动记录激励下隔震桥梁系统的地震反应。三个场点地震地面运动纵、横向的峰值加速度如表1所示，这三个场点地面运动分别是在Kobe（1995）、Imperial Valley（1940）、Loma Prieta（1989）地震时的坚硬土壤或基岩上记录到的。
表1 三种地震波及其加速度峰值
地震波
记录地点
顺桥向
横桥向
分量
峰值加速度(g)
分量
峰值加速度(g)
Kobe,1995
JMA
N90E
0.599
N00E
0.821
Imperial Valley,1940
El-Centro
S90W
0.214
S00E
0.348
Loma Prieta,1989
Corralitos
S00E
0.644
S90W
0.479

为了分析双向地震作用下，隔震支座双向相互作用耦合效应对隔震连续桥梁地震反应的影响，对桥梁进行了两种工况分析，一种是隔震但不考虑隔震支座恢复力的双向耦合作用，另一种是隔震且考虑隔震支座恢复力的双向耦合作用。
对隔震支座设计，桥墩、桥台处铅芯支座屈服力的总和为梁体总重的0.08，满足常用隔震桥梁结构的归一化屈服力F0变化范围为0.02~0.20的要求。本文支座隔震周期Tb变化范围取为2~4s，隔震支座的隔震周期取为2s。
表2为水平双向地面运动作用下，该多跨连续桥梁中间桥墩基础剪力（Fx或Fy）、桥面中心处的绝对加速度（ax或ay）、中间桥墩（xa或ya）和桥台（xp或yp）处LRB相对位移反应的峰值。x和y分别指桥纵向和横向反应。
表2 隔震连续桥梁反应峰值
地震
方向
考虑支座恢复力双向耦合作用
不考虑支座恢复力双向耦合作用
Fx或Fy
(KN)
ax或ay (g)
xa或ya (cm)
xp或yp (cm)
Fx或Fy
(KN)
ax或ay (g)
xa或ya (cm)
xp或yp (cm)
Kobe
顺桥向
447.5
0.214
17.89
17.76
475.1
0.229
15.68
15.43
横桥向
736.0
0.298
24.81
24.67
784.3
0.302
21.02
20.89
Imperial Valley
顺桥向
277.8
0.118
6.76
6.63
285.6
0.121
5.25
5.11
横桥向
337.0
0.136
7.98
7.83
362.7
0.154
5.83
5.72
Loma Prieta
顺桥向
459.4
0.142
9.24
8.96
477.1
0.161
7.61
7.47
横桥向
376.8
0.151
9.72
9.44
420.6
0.189
9.31
9.04

从表2可见，考虑铅芯橡胶支座恢复力的双向耦合作用后，桥墩基础剪力（Fx或Fy）的峰值均有所降低，降低值最大达10.4%；桥面中心处的绝对加速度（ax或ay）的峰值均有所降低，降低值最大达20.1%；桥墩（xa或ya）和桥台（xp或yp）处LRB位移的峰值则均有明显增大，增大值最大达18.1%，这是由于考虑相互作用时，支座滞回环尺寸减小，导致更大的支座位移，结果支座的有效屈服强度减小了，增加了支座位移。如果忽略支座恢复力相互影响作用，隔震桥梁系统在纵向和横向是相互独立的，这样将低估支座位移。

图3桥墩基础剪力时程曲线（Kobe波）

图4 桥面绝对加速度时程（Kobe波）

图5 桥墩支座位移时程（Kobe波）

图6 桥台支座位移时程（Kobe波）

图7 桥台支座纵向力—位移的关系（Kobe波）

图8 桥台支座横向力—位移的关系（Kobe波）
图3、图4、图5和图6所示，分别为Kobe（1995）地震动作用下，考虑或忽略LRB恢复力的双向相互作用时，桥墩基础剪力、桥面绝对加速度、桥墩和桥台处支座变形的时程反应曲线对比图。这些图形显示了桥墩基础剪力和桥面加速度有很大的减小，说明LRB对桥梁隔震设计是有效的。由于支座力相互作用，桥面加速度和桥墩基础剪力稍有减小。考虑相互作用和不考虑相互作用状态下，支座位移变化规律是相同，只是峰值增加了。水平方向支座力相互作用增加了支座位移，这一点对隔震桥梁支座的设计是很重要的。
图7和图8所示，分别为Kobe（1995）地震动作用下，考虑或忽略LRB恢复力的双向相互作用时，桥台处LRB的纵、横向力—位移关系曲线。当支座力没有相互作用时，单向

的力—位移关系是典型的双线性，LRB滞回环形状有规律。然而，考虑恢复力相互作用时，单向的力—位移的曲线则不再是典型的双线性，LRB滞回环形状不规则。力—位移的曲线是耦合的，LRB滞后环尺寸有所减小，这意味着耗散地震能量较小。结果，考虑相互作用对于不考虑相互作用条件，增大了支座位的移峰值。
5结语
本文建立了模拟水平正交两向作用力条件下LRB支座非线动力行为的双向耦合弹塑性恢复力模型，在此基础上，提出了一种双向水平地震激励下多跨连续LRB隔震桥梁的非线性地震反应分析模型以及求解方法，并对考虑和忽略LRB支座恢复力的双向耦合作用时隔震桥梁的非线性地震反应进行了算例比较。分析表明：支座恢复力的双向耦合相互作用对隔震桥梁的反应有重要影响，如果忽略双向耦合相互作用，虽然桥面加速度和桥墩基础剪力略有减小，但大大的低估了支座位移，而隔震支座的位移设计对隔震桥梁设计是至关重要的，因此，在对隔震桥梁LRB支座进行设计时，应该考虑支座恢复力的相互耦合作用。
参考文献
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