2010年江苏省高考数学试卷答案与解析.doc

2010年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）（2010江苏）设集合A=1，1，3，B=a+2，a2+4，AB=3，则实数a=1【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】集合【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可【解答】解：AB=33B，又a2+43a+2=3 即 a=1故答案为1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型2（5分）（2010江苏）设复数z满足z（23i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】直接对复数方程两边求模，利用|23i|=|3+2i|，求出z的模【解答】解：z（23i）=2（3+2i），|z|（23i）|=2|（3+2i）|，|23i|=|3+2i|，z的模为2故答案为：2【点评】本题考查复数运算、模的性质，是基础题3（5分）（2010江苏）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再 算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可【解答】解：考查古典概型知识总个数n=C42=6，事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3故填：【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n；（2）算出事件A中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件A的概率，即P（A）=4（5分）（2010江苏）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有30根在棉花纤维的长度小于20mm【考点】频率分布直方图菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于20mm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数【解答】解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，则频数为100（0.01+0.01+0.04）5=30故填：30【点评】本题考查频率分布直方图的知识考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题5（5分）（2010江苏）设函数f（x）=x（ex+aex）（xR）是偶函数，则实数a=1【考点】函数奇偶性的性质菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可【解答】解：因为函数f（x）=x（ex+aex）（xR）是偶函数，所以g（x）=ex+aex为奇函数由g（0）=0，得a=1故答案是1【点评】考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法6（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是4【考点】双曲线的定义菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】d为点M到右准线x=1的距离，根据题意可求得d，进而先根据双曲线的第二定义可知=e，求得MF答案可得【解答】解：=e=2，d为点M到右准线x=1的距离，则d=2，MF=4故答案为4【点评】本题主要考查双曲线的定义属基础题7（5分）（2010江苏）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是63【考点】设计程序框图解决实际问题菁优网版权所有【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+2n33的最小的S值，并输出【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+2n33的最小的S值S=1+2+22+23+24=3133，不满足条件S=1+2+22+23+24+25=6333，满足条件故输出的S值为：63故答案为：63【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模8（5分）（2010江苏）函数y=x2（x0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=21【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出函数y=x2在点（ak，ak2）处的切线方程，然后令y=0代入求出x的值，再结合a1的值得到数列的通项公式，再得到a1+a3+a5的值【解答】解：在点（ak，ak2）处的切线方程为：yak2=2ak（xak），当y=0时，解得，所以故答案为：21【点评】考查函数的切线方程、数列的通项9（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（13，13）【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于1即可【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x5y+c=0的距离小于1，即，c的取值范围是（13，13）【点评】考查圆与直线的位置关系（圆心到直线的距离小于1，此时4个，等于3个，等于1，大于1是2个）是有难度的基础题10（5分）（2010江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为【考点】余弦函数的图象；正切函数的图象菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx6=0，解得sinx=线段P1P2的长为故答案为【点评】考查三角函数的图象、数形结合思想11（5分）（2010江苏）已知函数，则满足不等式f（1x2）f（2x）的x的范围是（1，1）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由题意f（x）在0，+）上是增函数，而x0时，f（x）=1，故满足不等式f（1x2）f（2x）的x需满足，解出x即可【解答】解：由题意，可得故答案为：【点评】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力12（5分）（2010江苏）设实数x，y满足3xy28，49，则的最大值是27【考点】基本不等式在最值问题中的应用菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】首先分析题目由实数x，y满足条件3xy28，49求的最大值的问题根据不等式的等价转换思想可得到：，代入求解最大值即可得到答案【解答】解：因为实数x，y满足3xy28，49，则有：，再根据 ，即当且仅当x=3，y=1取得等号，即有的最大值是27故答案为：27【点评】此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意，属于中档题13（5分）（2010江苏）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4【考点】正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】由+=6cosC，结合余弦定理可得，而化简+=，代入可求【解答】解：+=6cosC，由余弦定理可得，则+=故答案为：4【点评】本题主要考查了三角形的 正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属于基本公式的综合应用14（5分）（2010江苏）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是【考点】利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；方法二：令3x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：（方法一）利用导数求函数最小值，=，当时，S（x）0，递减；当时，S（x）0，递增；故当时，S的最小值是（方法二）利用函数的方法求最小值令，则：故当时，S的最小值是【点评】考查函数中的建模应用，等价转化思想一题多解二、解答题（共9小题，满分110分）15（14分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1）（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）=0，求t的值【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】（1）（方法一）由题设知，则从而得：（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：由E是AC，BD的中点，易得D（1，4）从而得：BC=、AD=；（2）由题设知：=（2，1），由（）=0，得：（3+2t，5+t）（2，1）=0，从而得：或者由，得：【解答】解：（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=（2，1），由（）=0，得：（3+2t，5+t）（2，1）=0，从而5t=11，所以或者：，【点评】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力16（14分）（2010江苏）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90（1）求证：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】（1），要证明PCBC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90，容易证明BC平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥PACB与三棱锥APBC体积相等，而三棱锥PACB体积易求，三棱锥APBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求【解答】解：（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC由BCD=90，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD因为PC平面PCD，故PCBC（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于（方法二）等体积法：连接AC设点A到平面PBC的距离为h因为ABDC，BCD=90，所以ABC=90从而AB=2，BC=1，得ABC的面积SABC=1由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥PABC的体积因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC又PD=DC=1，所以由PCBC，BC=1，得PBC的面积由VAPBC=VPABC，得，故点A到平面PBC的距离等于【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力17（14分）（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，最大？【考点】解三角形的实际应用菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】（1）在RtABE中可得AD=，在RtADE中可得AB=，BD=，再根据ADAB=DB即可得到H（2）先用d分别表示出tan和tan，再根据两角和公式，求得tan（）=，再根据均值不等式可知当d=55时，tan（）有最大值即有最大值，得到答案【解答】解：（1）=tanAD=，同理：AB=，BD=ADAB=DB，故得=，得：H=124因此，算出的电视塔的高度H是124m（2）由题设知d=AB，得tan=，tan=，tan（）=d+2，（当且仅当d=55时，取等号）故当d=55时，tan（）最大因为0，则0，所以当d=55时，最大故所求的d是55m【点评】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决18（16分）（2010江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m0，y10，y20（1）设动点P满足PF2PB2=4，求点P的轨迹；（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设点P（x，y），由两点距离公式将PF2PB2=4，变成坐标表示式，整理即得点P的轨迹方程（2）将分别代入椭圆方程，解出点M与点N的坐标由两点式写出直线AM与直线BN的方程联立解出交点T的坐标（3）方法一求出直线方程的参数表达式，然后求出其与x的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过x轴上的定点方法二根据特殊情况即直线与x轴垂直时的情况求出定点，然后证明不垂直于x轴时两线DM与DN斜率相等，说明直线MN过该定点【解答】解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（3，0）由PF2PB2=4，得（x2）2+y2（x3）2+y2=4，化简得故所求点P的轨迹为直线（2）将分别代入椭圆方程，以及y10，y20，得M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即联立方程组，解得：，所以点T的坐标为（3）点T的坐标为（9，m）直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x13，x23，解得：、（方法一）当x1x2时，直线MN方程为：令y=0，解得：x=1此时必过点D（1，0）；当x1=x2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）（方法二）若x1=x2，则由及m0，得，此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）若x1x2，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得kMD=kND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识考查运算求解能力和探究问题的能力19（16分）（2010江苏）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列是公差为d的等差数列（1）求数列an的通项公式（用n，d表示）；（2）设c为实数，对满足m+n=3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式Sm+SncSk都成立求证：c的最大值为【考点】等差数列的性质；归纳推理菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a1、d的方程，求出a1，进而推出sn，再利用an与sn的关系求出an（2）利用（1）的结论，对Sm+SncSk进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c的最大值的范围，利用夹逼法求出a的值【解答】解：（1）由题意知：d0，=+（n1）d=+（n1）d，2a2=a1+a3，3a2=S3，即3（S2S1）=S3，化简，得：，当n2时，an=SnSn1=n2d2（n1）2d2=（2n1）d2，适合n=1情形故所求an=（2n1）d2（2）（方法一）Sm+SncSkm2d2+n2d2ck2d2m2+n2ck2，恒成立又m+n=3k且mn，故，即c的最大值为（方法二）由及，得d0，Sn=n2d2于是，对满足题设的m，n，k，mn，有所以c的最大值另一方面，任取实数设k为偶数，令，则m，n，k符合条件，且于是，只要9k2+42ak2，即当时，所以满足条件的，从而因此c的最大值为【点评】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力20（16分）（2010江苏）设f（x）是定义在区间（1，+）上的函数，其导函数为f（x）如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x（1，+）都有h（x）0，使得f（x）=h（x）（x2ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数（1）求证：函数f（x）具有性质P（b）；求函数f（x）的单调区间（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2（1，+），x1x2，设m为实数，=mx1+（1m）x2，=（1m）x1+mx2，1，1，若|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】（1）先求出函数f（x）的导函数f（x），然后将其配凑成f（x）=h（x）（x2bx+1）这种形式，再说明h（x）对任意的x（1，+）都有h（x）0，即可证明函数f（x）具有性质P（b）；根据第一问令（x）=x2bx+1，讨论对称轴与2的大小，当b2时，对于x1，（x）0，所以f（x）0，可得f（x）在区间（1，+）上单调性，当b2时，（x）图象开口向上，对称轴，可求出方程（x）=0的两根，判定两根的范围，从而确定（x）的符号，得到f（x）的符号，最终求出单调区间（2）先对函数g（x）求导，再m分m0，m1，0m1进行，同时运用函数的单调性即可得到【解答】解：（1）f（x）=x1时，恒成立，函数f（x）具有性质P（b）；当b2时，对于x1，（x）=x2bx+1x22x+1=（x1）20所以f（x）0，故此时f（x）在区间（1，+）上递增；当b2时，（x）图象开口向上，对称轴，方程（x）=0的两根为：，而当时，（x）0，f（x）0，故此时f（x）在区间上递减；同理得：f（x）在区间上递增综上所述，当b2时，f（x）的单调增区间为（1，+）；当b2时，f（x）的单调减区间为；f（x）的单调增区间为（2）由题设知：g（x）的导函数g（x）=h（x）（x22x+1），其中函数h（x）0对于任意的x（1，+）都成立，所以，当x1时，g（x）=h（x）（x1）20，从而g（x）在区间（1，+）上单调递增当m（0，1）时，有=mx1+（1m）x2mx1+（1m）x1=x1，mx2+（1m）x2=x2，得（x1，x2），同理可得（x1，x2），所以由g（x）的单调性知g（），g（）（g（x1），g（x2），从而有|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，符合题设；当m0时，=mx1+（1m）x2mx2+（1m）x2=x2，=mx2+（1m）x1mx1+（1m）x1=x1，于是由1，1及g（x）的单调性知g（）g（x1）g（x2）g（），所以|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，与题设不符当m1时，同理可得x1，x2，进而得|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，与题设不符因此，综合、得所求的m的取值范围为（0，1）【点评】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力21（10分）（2010江苏）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BCB：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（2，1）设k为非零实数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求k的值C：在极坐标系中，已知圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值D：设a、b是非负实数，求证：【考点】参数方程化成普通方程；基本不等式；直线和圆的方程的应用菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程【分析】A、连接OD，则ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解B、由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解C、在极坐标系中，已知圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a值D、利用不等式的性质进行放缩证明，然后再进行讨论求证【解答】解：A：（方法一）证明：连接OD，则：ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO，DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=30，DOC=60，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC（方法二）证明：连接OD、BD因为AB是圆O的直径，所以ADB=90，AB=2OB因为DC是圆O的切线，所以CDO=90又因为DA=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，从而AB=CO即2OB=OB+BC，得OB=BC故AB=2BCB满分（10分）由题设得由，可知A1（0，0）、B1（0，2）、C1（k，2）计算得ABC面积的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|=21=2所以k的值为2或2C解：2=2cos，圆=2cos的普通方程为：x2+y2=2x，（x1）2+y2=1，直线3cos+4sin+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以，解得：a=2，或a=8D（方法一）证明：=因为实数a、b0，所以上式0即有（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得=当ab时，从而，得；当ab时，从而，得；所以【点评】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力，及图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力另外此题也考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题22（2010江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元设生产各种产品相互独立（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3，且P（X=10）=0.80.9=0.72，P（X=5）=0.20.9=0.18，P（X=2）=0.80.1=0.08，P（X=3）=0.20.1=0.02X的分布列为：X10523P0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件由题设知4n（4n）10，解得，又nN，得n=3，或n=4所求概率为P=C430.830.2+0.84=0.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查独立重复试验的概率公式，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为高考题的解答题目出现23（10分）（2010江苏）已知ABC的三边长都是有理数（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数【考点】余弦定理的应用；数学归纳法菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】（1）设出三边为a，b，c，根据三者为有理数可推断出b2+c2a2是有理数，b2+c2a2是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数，根据余弦定理可知=cosA，进而可知cosA是有理数（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数，再假设nk（k2）时，结论成立，进而可知coskA、cos（k1）A均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得cos（k+1）A，根据cosA，coskA，cos（k1）A均是有理数推断出cosA，coskA，cos（k1）A，即n=k+1时成立最后综合原式得证【解答】解：（1）证明：设三边长分别为a，b，c，a，b，c是有理数，b2+c2a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数（2）当n=1时，显然cosA是有理数；当n=2时，cos2A=2cos2A1，因为cosA是有理数，cos2A也是有理数；假设当n=k（k2）时，结论成立，即coskA、cos（k1）A均是有理数当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosAsinkAsinA，解得：cos（k+1）A=2coskAcosAcos（k1）AcosA，coskA，cos（k1）A均是有理数，2coskAcosAcos（k1）A是有理数，cosA，coskA，cos（k1）A均是有理数即当n=k+1时，结论成立综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数【点评】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力20