高考数学数列专题复习.doc

专题一 数列【知识框架】【知识要点1】一、数列的概念1. 数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1,a2,a3an,简记an.2. 数列an的第n项an与项数n的关系若用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3. 如果已知数列an的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an =f（an-1）或an =f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列an的递推公式.4. 数列可以看做定义域为N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。二、数列的表示方法：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。三、数列的分类1. 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。2. 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。3. 从函数角度考虑分：（考点）递增数列：对于任何nN+，均有an+1 an递减数列：对于任何nN+，均有an+1 an摆动数列：例如:1，-1，1，-1，1，-1L- 常数数列：例如:6，6，6，6，6，6有界数列：存在正数M，使an MS1 (n=1)Sn-Sn-1 (n2)四、an与Sn的关系：（考点）1. Sn = a1+a2+a3+an= 2. an= 【例题1】已知数列an是递增数列,其通项公式为an=n2+n（n=1，2，3） ,则实数的取值范围 。解析： 数列an的通项公式为an=n2+n（n=1，2，3） 数列是递增数列an+1-an=(n+1)2+(n+1)- n2-n =2n+1+0 恒成立2n+1+的最小值是3+ 3+0 -3 实数的取值范围是（-3，+）【例题2】数列an的通项公式为an=3n2-28n,则数列各项中最小项是（ B ）A第项 B第项 C第项 D第项解析1：an=f(n)= 3n2-28n，f(n)是一元二次函数，其图像开口向上，有最低点，最低点是由于nN+，故取n=4和n=5代入，得到a4=-64，a5=-65，故选择Banan-1anan+1 3n2-28n3(n-1)2-28(n-1)3n2-28n3(n+1)2-28(n+1) 解析2：设an为数列的最小项，则有 代入化简得到解得： 故n=5【练习1】在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值为（ ）-2 (n=1)2n-5 (n2)A10 B11 C12 D13【练习2】数列an的前n项和Sn=n2-4n+1，则an an=【知识要点2等差数列】1. 定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即an-an-1=d（nN+，且n2），或者an+1-an=d（nN+）2. 通项公式：an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d (公式的变形) an=an+b 其中a=d，b= a1-d3. 前n项和公式： (公式的变形) Sn=An2+Bn 其中A= B=4. 性质：（1）公式变形（2）如果A=,那么A叫做a和b的等差中项.（3）若为等差数列，且有k+l=m+n, 则（4）若为等差数列则是等差数列，其中p,q均为常数（5）若为等差数列，则（k,m）组成公差为md的等差数列.（6）若分别为的前n项，前2m项，前3m项的和，则,成等差数列.（7）若设等差数列，则是等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的（7）非零等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n,则S偶-S奇=nd， 若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an，S奇=nan， 5. 判断：定义法：an+1-an=d（nN+） 中项法：2an+1=an+ an+2 += 为等差数列。通项公式法：an=an+b（a,b为常数） 前n项和公式法：Sn=An2+Bn（A,B为常数）【例题1】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ B ） （A） （B） （C） （D）解析： d=1 S8=8a1+28 S4=4a1+6 S8=4 S4 a1=0.5 an=a1+(n-1)d a10=【例题2】在等差数列中，若，则= 10 .解析：因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入【知识要点3等比数列】1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟，那么这个数列就叫做等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，及2. 通项公式：na1 (q=1) 或 (q1)如果等比数列的公比为q，那么它的通项公式为.3. 前n项和公式：设等比数列的公比为q，其前n项和=4. 性质：（1）等比数列满足或时，是递增数列；满足或时，是递减数列.当q=1时，为常数数列；当q0时，为摆动数列，且所有奇数项与同号，所有偶数项与异号.（2）对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列中，的关系为:（3）若,为等比数列（项数相同），则(0),仍是等比数列.（4）如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G=ab。不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个等比中项。【例题1】已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .解析：由题意解得：a1=1，a4=8， q=2，那么【例题2】数列中为的前n项和，若，则 6 .解析：an+1=2an 数列是等比数列，q=2 Sn= =126 其中a1=2 n=6【知识要点4】（大题）一、考点1：求an：1. 归纳法（由特殊到一般即找规律）由于归纳法求解通项的题目一般在选择填空常见，较少出现在大题中。2. 利用Sn与an的关系求通项公式由Sn求an时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能，则分段表示.3. 由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法】1.累加法：若已知且则，即.2.累乘法：若已知且则 ,即3.换元法：若已知且且p）则令,可得（其中）为等比数列，其中可用待定系数法求出.【例题1】已知数列满足，求数列的通项公式。（累加法）解：由得则所以数列的通项公式为。【例题2】已知数列满足，求数列的通项公式。（累乘法）解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为二、考点2：求Sn：1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解2.倒序相加法：在数列中，与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列，可用倒序相加法求此数列的前n项和。（此法在实际解体过程中并不常用，例子：等差数列前n项和公式推导）3.错位相减法：在数列中，是等差数列，是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和. 4.裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.5.分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。6.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.【例题1】设数列满足 ，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。（错位相减法）解析：（1）由已知，当n1时，。 而 所以数列的通项公式为。（2）由知 从而 -得 即 【例题2】求数列的前n项和。（裂项相消法）解析：设 （裂项）则 （裂项求和） - 5 -