广东专插本2004-10年高数真题及详解.doc

湛师基础教育学院2009级整理
广东省本科插班生入学考试

高等数学
(2004-2010历年真题及详解)
辅
导
资
料
学校:____________________
班别:____________________
姓名:____________________

2004年专升本插班考试
《高等数学》试题

一、填空题（每小题4分，共20分）
1、函数的定义域是 。
2、 。
3、若 。
4、若函数, 。
5、设,
。
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
6、若（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7、设,( )
（A）0, （B）1, (C)2, (D)
8、曲线所围成的图形面积为S，则S=（ ）
（A） （B）
（C） （D）
9、函数项级数的收敛区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、变换积分分次序后有I=（ ）
（A） B）
（C） （D）
三、简单计算题（每题9分，共36分）
11、求极限
12、求由方程所确定的隐函数y的二阶导数。
13、计算定积分。
14、设。
四、计算题（每题12分，共24分）
15、由所围成的曲边三角形OAB（如图所示），在曲边上，求一点C，使得过此点所作之切线与OA、AB所围成的三角形面积最大。

16、计算二重积分，共中D是由直线，以及曲线所围成的平面区域。
2004年专升本插班考试
《高等数学》参考答案
一、填空题
1、 2、 3、 4、 5、
二、单项选择题
6、A 7、D 8、B 9、C 10、B
三、简单计算题
11、解：原式

12、解：把y看成x的函数并对和方程关于x求导，得
再一次求导，得

13、解：
14、解：

四、计算题
15、解： 于是过点c的切线斜率为
切线方程为：， 即
此切线与分别交于点
所围三角形面积h为： 即
对求导，得
令，得
又
当过点（）作切线，所围三角形面积最大。
16、解：

下面计算 令，则当
于是

2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）
1、下列等式中，不成立的是
A、 B、
C、 D、
2、设是在（）上的连续函数，且，则=
A、 B、 C、 D、
3、设，则
A、- B、 C、- D、
4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是
A、x B、 C D、
5、已知，则=
A、 B、 C、 D、
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、极限= 。
7、定积分= 。
8、设函数，则= 。
9、若函数在x=0处连续，则a= 。
10、微分方程的通解是 。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
11、求极限)。
12、求极限。
13、已知，求。
14、设函数是由方程所确定的隐函数，求。
15、计算不定积分。
16、计算定积分。
17、求由两条曲线及两条直线所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。
18、计算二重积分,其中积分区域 。
19、求微分方程满足初始条件的特解。
20、已知，求全微分。
四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分）
21、设，
（1）求的单调区间及极值；
（2）求的闭区间[0，2]上的最大值和最小值。
22、证明：当时，。
23、已知，且，求f(0)。
2005年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、D 2、B 3、C 4、C 5、A
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、1； 7、0； 8、 9、 10、
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
11、解：
5分
2分

2分
12、解：
5分

2分
13、解：
5分
2分

14、解法一：设，则
2分

4分

故5分
（x≠y）。
解法二：方程可写为
视，上式两边对x求导得
3分
，
4分
即，
5分
所以，推出 （x≠y）
15、解：
（每项的原函数求对各得1分，总体答案写对得5分）
1分
16、解：令，则
3分

6分
6分
17、解：由两条曲线及两条直线所围成的平面图形
如图所示（要画出草图，不画图不扣分），依题意，旋转体的体积为
3分

5分
18、解：采用极坐标变换，则
3分

5分

19、解：方程的特征方程为
2分
解出
可知方程的通解为3分

由上式可得
用初始条件代入上面两式得
解出5分
故所求的特解为
2分
20、解：
4分

故
5分

四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分）
21、解：的定义域为，
2分
令，解出驻点（即稳定点）
列表
x

-1
（-1，1）
1

—
0
+
0
—

单调减
极小
单调增
极大
单调减
4分
可知极小值
5分
极大值
（2）因在[0，2]上连续，由（1）知在（0，2）内可导，且在（0，2），内只有一个驻点（极大值点），因，且

8分
故在闭区间[0，2]上的最大值为，最小值为
1分
22、证明：设则
由拉格朗日中值定理知，存在一点，使
，4分
即 ，
6分
又因 ，故
23、解：应用分部积分法
2分

4分

由题意有 6分
2006年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）
1、函数在x = 0处
A. 无定义 B. 不连续 C. 可导 D. 连续但不可导
2、设函数在点x0处连续，且则=
A. -4 B. 0 C. D. 4
3、设函数若存在，则a =
A. B. C. D.
4、设z = ln(xy)，则dz =
A. B. C. D. ydx+xdy
5、积分
A. 收敛且等于-1 B. 收敛且等于0 C. 收敛且等于1 D. 发散
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、若直线y = 4是曲线的水平渐近线，则a = 。
7、由参数方程所确定的曲线在t=0相应点处的切线方程是 。
8、积分 。
9、曲线及直线x = 0，x = 1和y = 0所围成平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积V =
。
10、微分方程的通解是 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明）
11、求极限。
12、计算不定积分。
13、设函数。
14、函数y = y(x)是由方程所确定的隐函数，求在点（1，0）处的值。
15、计算定积分。
16、求二重积分，其中积分区域。
17、设函数，求。
18、求微分方程满足初始条件的特解。
四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分）
19、已知函数是在上的一个原函数，且f(0)=0.
（1）求；
（2）求的单调区间和极值；
（3）求极限。
20、设，都是上的可导函数，且，g=(0)=0。试证：。

2006年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、D 2、B 3、B 4、A 5、C
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、8 7、x+2y-3=0 8、4 9、 10、
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、解法一：
2分
3分
6分

2分
4分
解法二：
6分

1分
解法三：
2分

4分
5分
6分

(说明:不转换成函数极限,直接用洛必达法则计算可以不扣分)
6分
2分
2分
12、解法一：
=
2分
解法二：
6分
=
1分
解法三：设= t，则x =
3分

5分
==
6分
=
3分
13、解：=，
5分
，
6分

1分
14、解法一：将方程两边对x求导数得
4分
，
5分
则
6分
。
解法二：将方程两边取自然对数得
4分
1分

5分
则
6分
.

1分
解法三：设F（x,y）=，
2分
则，，
3分
，
5分

6分
.
2分
15、解：
6分
5分
4分

1分
16、解法一：D=如答图1所示
3分

6分
5分
4分

1分
解法二：D=如答图1所示
3分

6分
5分
4分

（说明：本题不画图，不扣分）
2分
17、解：
3分
=，
6分
5分

2分
18、解：原方程可变形为：，
4分

（说明：没写绝对值不扣分）
5分
化简得：
将初始条件代入得：
6分
故所求的特解为.

四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分）
1分
19、解：（1）
4分
3分

（2），
5分
令，解得x=0，x=1，x=3.
列函数性态表如下

（）
0
（0，1）
1
（1，3）
3
（3，）

+
0
+
0
－
0
+

↗
无极值
↗
极大值
↘
极小值
↗
8分

（说明：不列表，分别讨论单调性不扣分）
9分
故f(x)在区间（）及（3，）单调上升，在区间（1，3）单调下降；
fx)的极大值f(1)=1，极小值f(3)=－27。
11分
（3）解法一：
14分
12分

11分
解法二：
14分
12分

14分

1分
20、证明：设，
3分
则。
5分

6分
故=c，c为常数。
又
8分
。

2007年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）
1、函数的定义域是
A.（，0）（0，） B.（，0）
C.（0，） D. Ø
2、极限
A. 等于-1 B. 等于0 C. 等于1 D.不存在
3、设是在（0，）内的一个原函数，下列等式不成立的
A. B.
C. D.
4、设函数，则下列结论正确的是
A. 的极大值为1 B. 的极小值为1
C. 的极大值为 D. 的极小值为
5、设则

A.等于1 B.等于-1 C.等于0 D. 不存在
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、极限 。
7、设，要使在处连续，应补充定义= 。
8、设函数，则其函数图像的水平渐近线方程是 。
9、微分方程的通解是y= 。
10、设，则全微分du= 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、求极限的值。
12、设，求二阶导数。
13、设函数由方程确定，求。
14、计算不定积分。
15、计算定积分。
16、设平面图形由曲线与直线及围成，求该图形线y轴旋转所得的旋转体体积。
17、设，计算的值。
18、计算二重积分，其中积分区域。
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19、若函数在内连续，且满足，求。
20、设函数，
（1）求；
（2）证明：当x＞0时，单调增加。

2007年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、C 2、B 3、D 4、D 5、A
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、 7、 8、y=1 9、 10、
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、解：应用洛必塔法则，
原式=
…………（3分）
=
…………（6分）
=
=0.

…………（4分）
12、解：.
[说明：正确计算和各得2分]
…………（6分）
.
13、解：将代入方程得：
…………（2分）
.
方程两边对x求导数得：
…………（4分）
.
将代入上式得：
…………（6分）
.
14、解：原式
…………（6分）
.
（说明：正确计算）
…………（2分）
15、解法一：设，则时，；时，.

…………（4分）
=
=
=
…………（6分）
=
…………（2分）
解法二：原式=
…………（4分）
=
…………（6分）
=.
16、解：如答图1所示，所求旋转体的体积为
…………（3分）

…………（6分）
.
…………（2分）
17、解：由题意知，

…………（4分）

…………（6分）

18、解：如答图2所示，

…………（3分）
=
=
=
…………（6分）
=

四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分）
…………（1分）
19、解：当时，有
由题意知可导，
等式两边对x求导数得：
…………（4分）
记，则有=0.

…………（6分）

…………（8分）
.

…………（10分）
故.
20、解：（1）两边取对数得
…………（2分）

两边对x求导数得

…………（6分）
则.
（2）（证法一）当x＞0时，
记，在上应用拉格朗日中值定理得
＜＜
…………（10分）
即＞＞0，
于是＞0，
…………（12分）
故当＞0时，单调增加.
（证法二）当＞0时，记，
…………（8分）
则＜0，
所以在（0，）内单调下降.
又
…………（10分）
当＞0时，＞0，于是＞0，
…………（12分）

故当＞0时，单调增加.
2008年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）
1、下列函数为奇函数的是
A. B. C. D.
2、极限=
A. e B. C. 1 D.-1
3、函数在点处连续是在该点处可导的
A.必要非充分条件 B. 充分非必要条件
C.充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
4、下列函数中，不是的原函数的是
A. B. C. D.
5、已知函数，则dz=
A. B. ydx+xdy C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、极限= 。
7、曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线方程是= 。
8、积分= 。
9、设，则= 。
10、微分方程的通解是 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、计算。
12求函数在区间[-1，2]上的最大值及最小值。
13、设参数方程确定函数y=y(x)，计算。
14、求不定积分。
15、计算定积分。
16、设方程确定隐函数，求。
17、计算二重积分，其中D是由y轴、直线y=1，y=2及曲线xy=2所围成的平面区域。
18、求微分方程满足初始条件的特解。
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19、证明：对＞0，＞。
20、设函数在区间[0，1]上连续，且0＜＜1，判断方程在区间（0，1）内有几个实根，并证明你的结论。

2008年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、C 2、B 3、A 4、D 5、D
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、 7、 8、2 9、0 10、
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
（3分）
11、解：=
（4分）
=
（6分）
=.
（2分）
12、解：，
（4分）
令，即，解得驻点x=0，
（6分）
又，所以f(x)在区间[-1，2]上最大值M=2
及最小值m=0.
（3分）
13、解：，
（6分）
.
（1分）
14、解：
（3分）

（5分）

（6分）
.
（2分）
15、解：.
（3分）

（5分）

（6分）
.
16、解：设,
（３分）
则，
（６分）
.
（2分）
17、解：
（４分）
=
（６分）
=

.
（２分）
18、解：
（４分）
，
由条件有，
（６分）
故满足初始条件的特解为.
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19、证明：＞等价于＞.
（2分）
令，
（4分）
，
（6分）
＞0，
（8分）
于是在内单调增加，从而＞=0，
（10分）
所以在内单调增加，故＞=0，即＞.
（3分）
20、解：设，则在[0，1]上连续，
，因为0＜f(x)＜1，可证＜1，于是＞0，
（6分）
所以在（0，1）内至少有一个零点.
（9分）
又＞2﹣1＞0，在[0，1]上单调递增，
（12分）

所以在（0，1）内有唯一零点，即在（0，1）内有唯一实根
2009年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1、设则
A. -1 B. 1 C. 3 D.
2、极限
A. 0 B. 1 C. 2 D.
3、下列函数中，在点处连续但不可导的是
A. B.
C. D.
4、积分
A. B.
C. D.
5、改变二次积分的积分次序，则I=
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6、若当时，，则常数a= 。
7、曲线的水平渐近线方程是 。
8、若曲线在t=0处的切线斜率为1，则常数k= 。
9、已知二元函数的全微分则= 。
10、已知函数满足 。
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11、计算极限。
12、设用导数定义计算。
13、已知函数的导数。
14、计算不定积分。
15、计算定积分。
16、设隐函数由方程。
17、计算二重积分，其中积分区域。
18、求微分方程满足初始条件的特解。
四、综合题（大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19、用G表示由曲线y=1nx及直线x+y=1,y=1围成的平面图形。
（1）求G的面积；
（2）求G绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积。
20、设函数.
（1）判断在区间（0，2）上的图形的的凹凸性，并说明理由；
（2）证明：当0＜x＜2时，有＜0。
2009年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、A 2、C 3、A 4、D 5、C
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6、-4 7、 8、4 9、2y 10、
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
（2分）
11、解：原式=
（4分）
=
（6分）
=.
12、解：，
（3分）
=
（6分）
=.
（2分）
13、解：，
（5分）

（6分）
.
14、解：设
（3分）
原式=
=
（6分）
=（6分）
.
（2分）
15、解：为奇函数，，
而为偶函数，
（5分）

（6分）
故原式
（6分）
16、解：设,则
（３分）

（６分）
所以
17、解：设，
（４分）
则原式=
（６分）
=
18、解：因为微分方程的特征方程为

（２分）
解得.
（４分）
微分方程的通解为.
,
有，
（6分）
，解得，，
故特解为.
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
（3分）
19、解：（1）
=
（5分）

（8分）
（2）
=
（10分）
=
（2分）
20、解：（1）
（5分）
当0＜x＜2时，＜＜0，所以在（0，2）上的图形是凸的。
（2）当0＜x＜2时，＜＜0，
在（0，2]上单调减少，由此知：
（8分）
当0＜x＜2时，有
故在区间（0，2]上单调增加.
因此当0＜x＜2时，有
（12分）

2010年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、选择题（本大题共5题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1.设函数的定义域为，则函数在其定义域上是
A.偶函数 B.奇函数 C.周期函数 D.有界函数
2. 是函数的
A.连续点 B.第一类可去间断点
C.第一类跳跃间断点 D.第二类间断点
3.当时，下列无穷小量中，与等价的是
A. B. C. D.
4.若函数在区间上连续，则下列结论中正确的是
A.在区间内至少存在一点，使得
B.在区间内至少存在一点，使得
C.在区间内至少存在一点，使得
D.在区间内至少存在一点，使得
5.设，则
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6.设为常数，若，则
7.圆在点处的切线方程是
8.由曲线和直线及围成的平面图形绕轴旋转一周所构成的几何体的体积
9.微分方程的通解是
10.设平面区域，则二重积分
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11.计算.
12.设函数，用导数定义计算.

13已知点是曲线的拐点，求常数的值.

14.计算不定积分.

15.计算定积分.

16.求微分方程的通解.
17.已知隐函数由方程所确定，求和.

18.计算二重积分，其中是由抛物线和直线及
围成的区域
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19.求函数的单调增减区间和极值.
20.已知是函数在区间内的一个原函数，
（1）求；（2）计算

2010年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》参考答案及评分标准
一、题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.B 2.A 3.C 4.D 5.D
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6.0 7. 8.
9. 10.
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11.解：原式= ………………………………（2分）
……………………………………（6分）
12.解：……（2分）
……（4分）
……………………………………（6分）
13.解：由题意知 ①…………………………………………（1分）
又因为……（3分）
所以，由题意知 ②
由①和②解得……………………………………（6分）
14.解一：原式=………（2分）
………………（4分）
…………………………（6分）
解二：原式=……………………………………（2分）
…（4分）
…………………………………（6分）
15.解：令，则，…………（2分）
所以……（4分）
…………………………（6分）
16.解：………（2分）
……………………（3分）

……………………………………（6分）
17.解：设，则
…（3分）
所以
……………………………………………………………（6分）
18.解：画出积分区域
解方程组，可求得切点为………………（3分）

………（6分）
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19.解：在上可导，…（2分）
令，得驻点…………………（3分）
列表

0

1

0

0

单调增
极大值
单调减
极小值
单调增
………………………………………………………………（7分）
极大值，
极小值…………………………………（10分）
20.解：…………………………（2分）

……………………………（6分）

………………………………………………………………………（8分）

…………………………（12分）

39