1、第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容主要内容:一、一、弧微分弧微分 二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三三章 一、一、弧微分弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为或几何意义几何意义:若曲线由参数方程表示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为对应切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!机
2、动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为例例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页
3、 返回 结束 且 l R.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.例例2.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R.处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:显然例例3.求椭圆在何处曲率最大?解解:故曲率为K 最大最小机动 目录 上页 下页 返回 结束 求驻点:设从而 K 取最大值.这说明椭圆在点处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值:最大.三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线把以 D 为中心,
4、R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为且求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心设点M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点 M(x,y)沿曲线 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线.机
5、动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3 目录 上页 下页 返回 结束(仍为摆线)例例5.求摆线的渐屈线方程.解解:代入曲率中心公式,得摆线 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?解解:则利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 P175 4；5；7；8；9
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