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13 极限的四则运算法则极限的四则运算法则第一章第一章 函数与极限函数与极限2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理函数的极限函数的极限的的充分必要条件充分必要条件是是例如，例如，于是于是不存在不存在.因因第第1页，二大题的页，二大题的1小题小题课课本本1919页页3 小小 结结极限运算法则极限运算法则课课本本2525页页44 两个重要极限两个重要极限第第2页，页，三三大题的大题的1小题，小题，2小题小题5定义定义记作记作记作记作是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷小;低阶的无穷小低阶的无穷小;同阶无穷小同阶无穷小;等价无穷小等价无穷小,5 无穷小无穷小 无穷小的阶无穷小的阶 等价无穷小代换等价无穷小代换6 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小量的性质无穷小量的性质 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量.定理定理 若若 为常数为常数,则则无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量第第1页，一大题的页，一大题的2小题小题第第2页，二大题的页，二大题的1小题小题7常用等价无穷小常用等价无穷小课课本本3535页页86 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一:无定义无定义;不存在不存在;间断点间断点.第第1页，一大题的页，一大题的1小题小题第第1页，二大题的页，二大题的1小题小题9定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第12页，五大题的（页，五大题的（1）小题）小题10三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为切线方程切线方程:法线方程法线方程:第第5页，一大题的页，一大题的3小题小题11函数的求导法则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数 课课本本6262页页12一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 13定理定理3 链导法则链导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则函数的求导法则函数的求导法则可导可导,且其导数为且其导数为或或因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.14第第2页，三大题的页，三大题的3，4小题小题第第6页，三大题的页，三大题的3，4,5小题小题15含抽象函数时的导数运算含抽象函数时的导数运算解问题 1.若存在,如何求的导数?由复合函数求导法则应有所以设函数的求导法则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 没有给出具体对应关系的函数抽象函数第第10页，三大题的页，三大题的4小题小题16一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数,函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:两边对 x 求导(含导数 的方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 课本课本6666页页173.解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率把方程两边分别对把方程两边分别对x求导求导,得得第第2页，三大题的页，三大题的4小题小题即：即：解得：解得：第第6页，三大题的页，三大题的4小题小题184 4设函数 由方程 确定，求1设函数 由方程 确定，求，求2求由方程 所确定的隐函数的导数3求由方程 所确定的隐函数的导数 193.对数求导法对数求导法方方方方 法法法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.-对数求导法对数求导法例例解解等式两边取对数得等式两边取对数得20二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得21 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解 隐函数与参数方程求导法第第6页，三大题的页，三大题的5小题小题22第第2页，三大题的页，三大题的5小题小题解 23定义定义2.微分的定义微分的定义如果如果则称函数则称函数可微可微(differentiable),A为微分系数为微分系数函数的微分函数的微分记作记作微分微分(differential),并称并称为函数为函数24求法求法1.基本微分公式基本微分公式三、微分公式与运算法则三、微分公式与运算法则函数的微分函数的微分计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.252.运算法则运算法则函数的微分函数的微分26第第2页，三大题的页，三大题的6小题小题27微分中值定理微分中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 罗尔定理罗尔定理(1)(2)(3)使得使得若函数若函数满足满足在闭区间在闭区间上连续上连续;在开区间在开区间内可导内可导;则在开区间则在开区间内至少存在一点内至少存在一点第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用第第12页，五大题页，五大题28微分中值定理微分中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.不求函数不求函数断方程断方程有几个实根及其所在的区间有几个实根及其所在的区间.的导数，的导数，判判解解在在 内可导，内可导，是多项式函数，是多项式函数，故故在区间在区间,上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件.因此在区间因此在区间内至少存在一点内至少存在一点使得使得即即是是的一个实根的一个实根.内至少存在一点内至少存在一点 ,在区间在区间使得使得即即是是的一个实根的一个实根.又又为二次方程为二次方程,最多有两个实根最多有两个实根,恰有两个实根，恰有两个实根，29 拉格朗日中值定理及其应用拉格朗日中值定理及其应用拉格朗日中值定理(1)(2)使得使得即即微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式30例例3.证明不等式证明不等式证证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第4页，五大题页，五大题31证明：令，显然 在 上满足拉格朗日中值定理的条件，故即即下面要证下面要证在区间在区间 单减单减当当 时时故故即即第第8页，五大题页，五大题32定理定理1洛必达法则洛必达法则2.利用洛必达法则求未定式的极限利用洛必达法则求未定式的极限 33定理定理1单调增加单调增加;单调减少单调减少.函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性3.判断函数的单调性，利用单调性证明不等式判断函数的单调性，利用单调性证明不等式第第13页，二大题页，二大题3小题小题34定理定理2 2二阶导数二阶导数,凹凹(凸凸)函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性4.4.判断函数图形的凹凸性，求拐点判断函数图形的凹凸性，求拐点35 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意1)若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理,可得可得拐点的判别法拐点的判别法:或不存在或不存在,但但在在 两侧两侧异号异号,则点则点是曲线是曲线的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 若曲线若曲线在点在点连续连续,连续曲线上连续曲线上凹凸的分界点凹凸的分界点称为曲线的拐点称为曲线的拐点36定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)则则为为极大值极大值则则不是极值不是极值.(极小值极小值);函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值5.求函数极值点和极值，求函数极值点和极值，37定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证极大值极大值(极小值极小值).极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件因此因此,当当充分小时充分小时,由极限的保号性由极限的保号性可见可见,与与异号异号.所以所以,第一充分条件第一充分条件 对于对于驻点驻点,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点.自己证极小值情形自己证极小值情形.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值第第13页，二大题页，二大题1小题小题第第9页，二大题页，二大题3小题小题38 机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)其中最大其中最大(小小)者者 求连续函数求连续函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最大上的最大(小小)将闭区间将闭区间a,b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的点点区间端点区间端点的函数的函数就是就是 f(x)在闭在闭(即为即为可能极值点可能极值点)处的函数值和处的函数值和值值 f(a),f(b)比较比较,区间区间a,b上的最大上的最大(小小)值值.二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题函数的极值与最值函数的极值与最值 值的方法值的方法:第第1页，一大题页，一大题4小题小题39求函数求函数 在在 上的最大上的最大 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 解解因因驻点驻点:比较得比较得:因因最大值最大值为为最小值最小值为为值最小值值最小值.函数的极值与最值函数的极值与最值 4040定义定义1例例1.原函数原函数则称则称或或一个一个原函数原函数.或由或由知知是是原函数原函数.也是也是的原函数的原函数,其中其中 为任意常数为任意常数.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质如果在区间如果在区间I I上上,对于可导函数对于可导函数 第第1页，一大题页，一大题4小题小题41积积分分变变量量积积分分常常数数被被积积函函数数定义定义2被被积积表表达达式式2.不定积分不定积分不定积分不定积分.(1)定义定义全部原函数的一般表达式全部原函数的一般表达式称为函数称为函数f(x)的的记为记为不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质积积分分号号4242 由不定积分的定义由不定积分的定义 结论结论微分微分运算与运算与求不定积分求不定积分的运算是的运算是如如(1)或或或或互逆互逆互逆互逆的的.二、不定积分的性质二、不定积分的性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质第第6页，二大题页，二大题5小题小题43一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)机动 目录 上页 下页 返回 结束 44基基本本积积分分公公式式(k是常数是常数)说明：说明：不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质课课本本119119页页45不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质46熟熟 记记不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质47基基本本积积分分表表(2)换元积分法换元积分法课课本本134134页页48希望自己添加希望自己添加!换元积分法换元积分法49分部积分公式分部积分公式分部积分法分部积分法 使用分部积分法的关键是正确地选取使用分部积分法的关键是正确地选取 (因为因为“幂三指幂三指”好积好积,把被积函数视为两个函数的乘积把被积函数视为两个函数的乘积,按按“反对幂三指反对幂三指”的顺序的顺序,前者为前者为 后者为后者为常用的方法常用的方法:自己简单自己简单.)“反对反对”的导数比它的导数比它50一、定积分的定义一、定积分的定义设函数设函数f(x)在在a,b上有上有界界,在在a,b中任意插入中任意插入定义定义若干个分点若干个分点把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间,各小区间长度依次为各小区间长度依次为在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点作乘积作乘积并作和并作和记记如果不论对如果不论对(1)(2)(3)(4)定积分的概念与性质定积分的概念与性质第五章第五章 定积分定积分51被被积积函函数数被被积积表表达达式式记为记为积分和积分和怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间上点上点怎样的取法怎样的取法,只要当只要当和和S总趋于确定的总趋于确定的极限极限I,称这个极限称这个极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上上的的定积分定积分.定积分的概念与性质定积分的概念与性质积分下限积分下限积分上限积分上限积积分分变变量量a,b积分区间积分区间定理定理1 1(原函数存在定理原函数存在定理)从而从而微积分基本公式微积分基本公式53推论推论微积分基本公式微积分基本公式543.3.牛顿牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法定理定理2 2（牛顿（牛顿-莱布尼茨莱布尼茨公式）公式）如果如果是连续函数是连续函数的一个原函数的一个原函数,则则55例例 解解 由图形可知由图形可知微积分基本公式微积分基本公式第第15页，三大题页，三大题10，11小题小题56注注为了方便起见为了方便起见,规定规定:对反常积分可用如下的简记法使用对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式公式,这时反常积分的收敛与发散取决于这时反常积分的收敛与发散取决于 和和 是否存在是否存在.反反 常常 积积 分分57证证因此因此收敛收敛,其值为其值为发散发散.反反 常常 积积 分分例例 证明反常积分证明反常积分*课本课本166页例页例5-35第第1页，二大题页，二大题1小题小题58 机动 目录 上页 下页 返回 结束 X 型平面图形型平面图形所围图形的微元所围图形的微元和面积为：和面积为：由由定积分的应用定积分的应用 59 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Y 型平面图形型平面图形微元和面积为：微元和面积为：由由所围图形的所围图形的定积分的应用定积分的应用 60 当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一周围成的立体体积时一周围成的立体体积时,当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,3.旋转体的体积旋转体的体积有有有有定积分的应用定积分的应用 旋转旋转61例例 求由曲线求由曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解所围图形绕所围图形绕 x一周所成旋转体的体积一周所成旋转体的体积.轴旋转轴旋转定积分的应用定积分的应用 第第4页，四大题页，四大题第第8页，四大题页，四大题第第12页，四大题页，四大题62如果一阶微分方程如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与这个等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程可分离变量的方程或或可以写成可以写成的形式的形式,易于化为形式易于化为形式特点特点变量的微分之积变量的微分之积.两端积分可得通解两端积分可得通解.一阶微分方程一阶微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程63齐次方程齐次方程的通解为的通解为1.线性线性齐次齐次方程方程一阶线性一阶线性微分方程的微分方程的解法解法一阶微分方程一阶微分方程常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法待定函数的方法.一阶线性非齐次一阶线性非齐次微分方程微分方程 的通解为的通解为课本课本197页公式页公式(6-18)小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 为常数为常数特征根特征根:二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程课本课本206页页