1、一、一、曲线形构件的质量曲线形构件的质量曲线形构件线密度曲线形构件线密度 (x,y)匀质时质量匀质时质量 m=l分割分割 A=M0,M1,Mn 1,Mn=B,si=弧弧MiMi-1的长度的长度求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值近似近似 任取任取二、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的概念与性质1.定义定义设设L是是xOy面内的一条有限长光滑曲线，函数面内的一条有限长光滑曲线，函数f(x,y)定义在定义在L上。用分点上。用分点M0,M1,Mn 1,Mn把把L任意任意分成分成n个小弧段，第个小弧段，第i 个小弧段的长度记为个小弧段的长度记为 si，并，并在其上任取一点在其上
2、任取一点(i,i)。被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和积分和曲线形构件的质量曲线形构件的质量如果当各小弧段长度的最大值如果当各小弧段长度的最大值 0 时，这和时，这和式的极限存在，则称此极限为式的极限存在，则称此极限为函数函数 f(x,y)在曲在曲线线L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，3.可积条件可积条件：2.推广推广必要条件：必要条件：函数函数f(x,y,z)在空间曲线在空间曲线 上对弧长的曲线积分为上对弧长的曲线积分为充分条件：充分条件：L是光滑或分段光滑曲线，是光滑或分段光滑曲线，f(x,y)在在L上上连续，则连续，则 存在。存在。4.性质性质
3、积分的七条性质可照搬过来积分的七条性质可照搬过来)(4)=L的长度。的长度。(5)若在若在L上上 f(x,y)g(x,y)，则，则推论推论(6)若在若在L上上m f(x,y)M，则，则(l 表示表示L的长度的长度)(7)设设 f(x,y)在在L上连续，则存在上连续，则存在(,)L，使得，使得说明说明：1)对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关。对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关。2)虽然被积函数是二元函数，但点虽然被积函数是二元函数，但点(x,y)限制在限制在 L上，只有一个变量是独立的，因而积分是一维的。上，只有一个变量是独立的，因而积分是一维的。3)对弧长的曲线积分中弧长元素对弧长的曲线
4、积分中弧长元素 ds 0.例例1 解解 4)L为闭曲线时常记作为闭曲线时常记作5)以上所有内容对于空间对弧长的曲线积分都成立。以上所有内容对于空间对弧长的曲线积分都成立。三、对弧长的曲线积分的计算法三、对弧长的曲线积分的计算法定理定理 设设 f(x,y)在曲线弧在曲线弧L L上有定义且连续，上有定义且连续，L L 的参的参数方程为数方程为 x=(t),y=(t),(t b b ),其中其中(t)、(t)在在 ,b b 上有一阶连续导数且上有一阶连续导数且(t)2+(t)2 0，则积分，则积分存在，且成立计算公式存在，且成立计算公式说明：说明：1)计算时，只需把计算时，只需把 x=(t),y=(
5、t)及及代入即可。代入即可。3)特殊情形特殊情形2)计算时，定积分的上限计算时，定积分的上限 b b 必须大于下限必须大于下限 。(c d)(a b)4)推广：推广：Oxy解解 例例2(P130例例1)计算计算，其中，其中L：y=x2，0 x 1。解解例例4 求求解解例例3 求求 I=，其中其中 L：y2=4 x，从，从(1,2)到到(1,2)的一段。的一段。=0.例例5(P130例例2)计算半径为计算半径为R，中心角为，中心角为2 的圆弧的圆弧L对对于于它的对称轴的转动惯量及重心它的对称轴的转动惯量及重心(线密度线密度 =1)。解解 建立如图所示的坐标系，则建立如图所示的坐标系，则L的参数方
6、程为：的参数方程为：x=Rcost,y=Rsint,t ,.yOx.由对称性由对称性例例6 求求解解 由由得：得：令令由对称性知，由对称性知，又又 z=，故有，故有四、四、物理意义物理意义(x,y)表示表示L的线密度的线密度)(1)L的质量的质量(2)曲线弧曲线弧L对于对于 x 轴及轴及 y 轴的转动惯量轴的转动惯量(3)曲线弧曲线弧L重心坐标重心坐标五、小结五、小结1 1、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的概念(定义和性质定义和性质)2 2、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算3 3、对弧长的曲线积分的应用、对弧长的曲线积分的应用习题习题(P131)：3(1)(4)(5)(8)，5思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？思考题解答思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.
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