高等数学同济六版教学微分中值定理与导数的应用.pptx

目录 上页 下页 返回 结束 无渐近线.点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义.若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”目录 上页 下页 返回 结束 1.水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有铅直渐近线例例1.求曲线的渐近线.解解:为水平渐近线;为铅直渐近线.目录 上页 下页 返回 结束 2.斜渐近线斜渐近线斜渐近线若(P76 题题14)目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求曲线的渐近线.解解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.目录 上页 下页 返回 结束 二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为 0 和不存在的点;并考察其对称性及周目录 上页 下页 返回 结束 例例3.描绘的图形.解解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点)(极小)4)目录 上页 下页 返回 结束 例例4.描绘方程的图形.解解:1)定义域为2)求关键点.原方程两边对 x 求导得两边对 x 求导得目录 上页 下页 返回 结束 3)判别曲线形态(极大极大)(极小极小)4)求渐近线为铅直渐近线无无定定义义目录 上页 下页 返回 结束 又因即5)求特殊点为斜渐近线目录 上页 下页 返回 结束 6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点无无定定义义目录 上页 下页 返回 结束 例例5.描绘函数的图形.解解:1)定义域为图形对称于 y 轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)目录 上页 下页 返回 结束 为水平渐近线5)作图4)求渐近线(极大极大)(拐点拐点)目录 上页 下页 返回 结束 水平渐近线;垂直渐近线;内容小结内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2.函数图形的描绘目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 拐点为 ,凸区间是 ,2.曲线的凹区间是 ,提示提示:及渐近线 .目录 上页 下页 返回 结束 P76 14(2);P169 2;5作业作业第七节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 求笛卡儿叶形线的渐近线.解解:令 y=t x,代入原方程得曲线的参数方程:因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线叶形线 笛卡儿叶形线目录 上页 下页 返回 结束 第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、弧微分弧微分 二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、弧微分弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为或几何意义几何意义:若曲线由参数方程表示:目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为对应切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!转角为目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.目录 上页 下页 返回 结束 有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则目录 上页 下页 返回 结束 例例2.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且 l R.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.目录 上页 下页 返回 结束 例例2.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R.处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点解解:显然目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求椭圆在何处曲率最大?解解:故曲率为K 最大最小求驻点:目录 上页 下页 返回 结束 设从而 K 取最大值.这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数值:最大.K 最大最小目录 上页 下页 返回 结束 三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为且求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心设点M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.目录 上页 下页 返回 结束 满足方程组由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点 M(x,y)沿曲线 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线.屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例例3目录 上页 下页 返回 结束(仍为摆线)例例5.求摆线的渐屈线方程.解解:代入曲率中心公式,得渐屈线方程 摆线 摆线摆线目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?解解:则利用目录 上页 下页 返回 结束 作业作业第八节 P177 4；5；7；8；*9 目录 上页 下页 返回 结束 三、一般迭代法(补充)第八节可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法(1)作图法 1.求隔根区间的一般方法求隔根区间的一般方法 目录 上页 下页 返回 结束(2)逐步收索法由图可见只有一个实根可转化为以定步长 h 一步步向右搜索,若搜索过程也可从 b 开始,取步长 h 0 时,从而在上单调增.得目录 上页 下页 返回 结束 例例9.设在上可导,且证明 f(x)至多只有一个零点.证证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考思考:若题中改为其他不变时,如何设辅助函数?目录 上页 下页 返回 结束 例例10.求数列的最大项.证证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大值点因此在 处也取最大值.又因中的最大项.极大值列表判别:目录 上页 下页 返回 结束 例例11.证明证证:设,则故时,单调增加,从而即思考思考:证明时,如何设辅助函数更好?提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 例例12.设在上存在,且单调递减,有证证:设则所以当令得即所证不等式成立.证明对一切目录 上页 下页 返回 结束 例例13.证证:只要证利用一阶泰勒公式,得故原不等式成立.目录 上页 下页 返回 结束 例例14.证明当 x 0 时,证证:令则法法1.由在处的二阶泰勒公式,得故所证不等式成立.与 1 之间)目录 上页 下页 返回 结束 法法2.列表判别.即目录 上页 下页 返回 结束 例例15.求解法解法1 利用中值定理求极限原式目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用泰勒公式令则原式目录 上页 下页 返回 结束 解法解法3 利用洛必达法则原式目录 上页 下页 返回 结束 P182 5;*7;*8;10(2),(3);11(1);17;20作业作业目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.设函数上具有二阶导数，且满足证明序列发散.证：证：故序列发散.(2007 考研）目录 上页 下页 返回 结束 保号性保号性 定理定理2.设在区间上连续,且试证存在使证证:不妨设必有使故保号性保号性 定理定理必有使故又在上连续,由零点定理知,存在使目录 上页 下页 返回 结束 3.已知函数内可导,且证证:(1)令故存在使 即(2005 考研）目录 上页 下页 返回 结束 内可导,且(2)根据拉格朗日中值定理,存在使3.已知函数目录 上页 下页 返回 结束 阶导数,且存在相等的最大值,并满足4.设函数证证:据泰勒定理,存在使 由此得即有(2007 考研）情形情形1.则有内具有二目录 上页 下页 返回 结束 阶导数,且存在相等的最大值,并满足情形情形2.因此据零点定理,存在即有则有4.设函数应用罗尔定理得内具有二