高等数学第五版第二.pptx

1定义定义1.隐函数的定义隐函数的定义所确定的函数所确定的函数一、隐函数的导数一、隐函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率称为称为隐函数隐函数(implicit function).的形式称为的形式称为显函数显函数.隐函数的隐函数的可确定显函数可确定显函数例例开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒(J.Kepler)1571-1630)1571-1630德国数学家德国数学家,天文学家天文学家.的隐函数客观存在的隐函数客观存在,但无法将但无法将表达成表达成的的显式显式表达式表达式.显化显化.22.隐函数求导法隐函数求导法隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率隐函数求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则,并注意到其中并注意到其中将方程两边对将方程两边对x求导求导.变量变量y是是x的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化 如何求导如何求导3例例解解则得恒等式则得恒等式代入方程代入方程,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,得得因为因为y是是x的函数的函数,是是x的复合函数的复合函数,所以所以求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法,0=y0=x0=y0=x4 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y.一般来说一般来说,隐函数隐函数求导求导,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,5隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解 法一法一利用利用隐函数求导法隐函数求导法.将方程两边对将方程两边对x求导求导,得得解出解出得得法二法二 从原方程中解出从原方程中解出得得6隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率先求先求x对对y的导数的导数,得得再利用再利用反函数求导法则反函数求导法则,得得7例例解解切线方程切线方程法线方程法线方程隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率通过原点通过原点.8例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率将上面方程两边再对将上面方程两边再对9或解或解解得解得隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率23)4(xy-)112(2-yy10隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,正交轨线正交轨线.称这两条曲线是称这两条曲线是正交的正交的.如果一个曲线如果一个曲线族族中的每条曲线与另一个曲线中的每条曲线与另一个曲线族族中的所有与它相交的曲线均正交中的所有与它相交的曲线均正交,称这称这是正交的是正交的两个曲线族两个曲线族或互为或互为正交曲线族在很多物理现象中出现正交曲线族在很多物理现象中出现,例如例如,静电场中的电力线与等电位线正交静电场中的电力线与等电位线正交,热力学中的热力学中的等温线与热流线正交等温线与热流线正交,等等等等.11证证即证即证.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率两条曲线在该点的两条曲线在该点的现只须证明现只须证明切线斜率互为负倒数切线斜率互为负倒数.,)22(是两曲线的交点是两曲线的交点易验证点易验证点12隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率2002年考研数学一年考研数学一,3分分解解确定确定,133.对数求导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 适适用用于于方方方方 法法法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,-对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.14例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数得等式两边取对数得 隐函数隐函数15两边对两边对x求导得求导得隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数得等式两边取对数得)(ln)(xuxv 16例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数得等式两边取对数得17注注复合函数复合函数改写成改写成如上例如上例则则只要将只要将幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率18例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率19有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便.例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对x求导求导隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率xb+20解答解答隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数等式两边取对数21解答解答隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率22二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数如如(parametric equation)参数方程参数方程隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数,间的函数关系间的函数关系与与确定确定xy23所以所以,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率单调连续的单调连续的反函数反函数由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得24例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率25 所求切线方程为所求切线方程为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率26例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率可由可由切线的斜率切线的斜率来反映来反映.即即时刻的运动方向时刻的运动方向在在0)1(t27隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率28隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率29设由方程设由方程确定函数确定函数求求方程组两边对方程组两边对t 求导求导,得得故故隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解tydd)1(2+t=tydd 30若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程给出给出,利用利用可化为极角可化为极角 参数方程参数方程,因此曲线因此曲线隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率切线的斜率为切线的斜率为,cos)(q qq qrx=q qq qsin)(ry=q qq qsin)(r-31例例解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率故法线方程为故法线方程为即即参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.32隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率33如如:注注求二阶导数不必死套公式求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理这样对求更高阶的导数也容易处理.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率34例例解解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率35解解得得隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率=+-=-)1(ddteexytyttey+-11dd0-=tty36为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率三、相关变化率三、相关变化率相关变化率相关变化率之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)37例例解解(1)(2)隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率仰角增加率仰角增加率(3),1tan,500=a a时时当当h500a aa a22tan1sec+=38当气球升至当气球升至500m时时,有一观测者以有一观测者以的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离当距离500 m时时,仰角的仰角的增加率是多少增加率是多少?提示提示 对对t 求导求导求求隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率500 x39水面水面例例解解桥面桥面20mxy(1)隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率在此人的正下方有一条小船以在此人的正下方有一条小船以的速度在的速度在与桥垂直的方向航行与桥垂直的方向航行,求经求经5s后后,人与小船相分离的人与小船相分离的速度速度.对对t求导求导(2)(3),my船航行距离为船航行距离为.34dd=ty40设自开始充气以来的时间设自开始充气以来的时间t,解解体积为体积为在在t时刻气体的时刻气体的半径为半径为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率10=r41隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率四、小结四、小结隐函数求导法则隐函数求导法则工具工具:复合函数复合函数链导法则链导法则;对数求导法对数求导法对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导.参数方程求导参数方程求导注意注意:变量变量y是是x的函数的函数.将方程两边对将方程两边对x求导求导.工具工具:复合函数复合函数链导法则链导法则、反函数的求导法则、反函数的求导法则.相关变化率相关变化率 通过函数关系确定两个变化率通过函数关系确定两个变化率之间的之间的解法解法:三个步骤三个步骤.关系关系,从其中一个变化率从其中一个变化率(已知已知)求出一个变化率求出一个变化率;42思考题思考题(是非题是非题)隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率正确解答正确解答试问试问对吗对吗?非非43作业作业习题习题2-4(1102-4(110页页)1.(3)2.3.(3)(4)4.(2)(4)5.(1)7.(2)8.(1)(4)9.(2)10.12.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率