人教版高数选修2-2第1讲：变化率与导数(学生版)—东直门仉长娜.doc

变化率与导数

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1、 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
2、 理解导数的几何意义；

一、变化率问题：
知识导入：
问题1 气球膨胀率
将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：
（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？
（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？
（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？
（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？
总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
h
t
o
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

1、 平均变化率：
1．上述问题中的变化率可用式子__________________表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
3.则平均变化率为____________________________________

思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?
f(x2)
y=f(x)
y

△y =f(x2)-f(x1)

f(x1)
直线AB的斜率
△x= x2-x1

x2
x1

x
O

二、 导数的概念：
1、瞬时变化率：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在出的导数，记作或，即
___________________
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以

三、 导数的几何意义：
1、 平均变化率与割线的斜率、瞬时变化率与切线的斜率：
（一）曲线的切线及切线的斜率：
如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
图3.1-2

我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即
说明：
（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.

类型一求函数的平均变化率
例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.

举一反三：
【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。
【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001].
【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。

【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.

类型二：利用定义求导数
例2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。

举一反三：
【变式1】已知函数
（1）求函数在x=4处的导数.
（2）求曲线上一点处的切线方程。

【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。

例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.

举一反三：
【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：
（1）平行于直线y=4x―5；
（2）垂直于直线2x―6y+5=0；
（3）与x轴成135°的倾斜角。

例4．已知函数可导，若，，求

举一反三：
【变式】已知函数可导，若，，求

类型五：求曲线的切线方程
例5．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.

举一反三：
【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.

【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.
【变式3】已知曲线.
（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？

例6．已知直线为曲线在点1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.
（1）求直线的方程；
（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.

举一反三：
【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程
【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.
【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.

一、选择题
1．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于(　　)
A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2
C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3
C．6 D．－6
3．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图1－1－2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是(　　)

图1－1－2
A．甲的日生产量大于乙的日生产量
B．甲的日生产量小于乙的日生产量
C．甲的日生产量等于乙的日生产量
D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．3
二、填空题
6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1－1－3所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．

图1－1－3
7．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.
8．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________.
三、解答题
9．正弦函数y＝sin x在区间[0，]和[，]的平均变化率哪一个较大？

10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度．
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．

11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)为
f(x)＝
求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义．

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基础巩固
1.函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为(　　)
A.2x0-1 B.2x0+Δx
C.2x0Δx+(Δx)2 D.(Δx)2-Δx+1
2.以初速度为v0(v0>0)做竖直上抛运动的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2,则物体在t0时刻的瞬时速度为(　　)
A.v0-gt0 B.v0
C.v0+gt0 D.gt0
3.函数y=x2+5x在x=3处的导数是(　　)
A.3 B.5 C.11 D.14
4.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)
A.-9 B.-3 C.9 D.15
5.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(　　)
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
6.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=___________.(用数字作答).

7.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f'(1)=___________.
8.求函数f(x)=x-x2在x=1处的导数.

能力提升
一、选择题
1．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(　　)
A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
2．自由落体运动的公式为s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，则下列说法正确的是(　　)
A．v是在0～1s这段时间内的速度
B．v是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．5Δt＋10是物体在t＝1s这一时刻的速度
D．5Δt＋10是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为(　　)
A.米/秒 B.米/秒 C．8米/秒 D.米/秒
4．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1＜k2 B．k1＞k2 C．k1＝k2 D．无法确定
5．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(1,10) B．(－1，－2) C．(1，－2) D．(－1,10)
二、填空题
6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2, (s的单位：米，t的单位：秒)，则小球在t＝5时的瞬时速度为________．
7．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
8．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么 ＝________.
三、解答题
9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．

10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：
s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．

11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a＝5×105 m/s2，它从枪口射出所用的时间为t1＝1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．

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