高数学位课辅导班课外练习题.doc

学位课《高等数学》下（理工科） 课外练习题

一，空间解析几何
1， 求平行于平面，并经过点的平面方程.
2， 求过点且平行于平面的平面方程.
3， 求过点和的直线方程.
4， 求过点且平行于直线的直线方程.
5， 指出下列方程在空间所表示的几何图形.
(1) (2) (3) (4)
(5)
[答案：1， 2， 3，
4， 5, 1）抛物柱面；（2）椭球面；（3）平面；（4）双曲抛物面；（5）锥面；]

二，多元函数及其偏导数
1,求下列函数的定义域
(1) (2) (3) (4)
2, 设，求
3, 设求

4, 求下列函数对各自变量的偏导数.
(1) (2) (3) (4)
5, 设,其中可微，求
6, 设求
7 设求
8, 设，验证
[答案：1,(1),(2)且,(3)或,
(4)且
2, 3, 4, (1) (2)
(3)
(4) 5,
6, ;

7, ]

三，多元复合函数微分法
一， 求全导数
1 设，而求
2 设，而，求
3 设，而，求
4 设，而，求
二， 求偏导数
1 设，而，求
2 设，而，求
3 设，而，求
4 设求
*5 设，求
*6 设求
[答案：一，1, 2, 0 3, 4,
二，1,
2,

3, ;
4,
*5, ;
*6, ; ]

四，全微分
一，求全微分
1 求函数的全微分 2 求函数的全微分
3 求函数的全微分 4 求函数的全微分
5求函数的全微分
二, 求某一点处的全微分
1 设求该函数在处的全微分
2 求函数在处的全微分
[答案：一，1, 2,
3, 4, 5,
二，1, 2, ]
五，多元函数微分学的几何应用
1, 求曲线在点处的切线与法平面方程.
2, 求曲线在处的切线与法平面方程.
3, 求曲面在点(2,1,0)处的切平面方程和法线方程.
4, 求曲面在点处的切平面方程和法线方程.
5, 求曲面在点处的切平面方程和法线方程.
[答案：1,
2,
3,
4,
5, ]
六，二元函数极值
1, 求函数的极值
2, 求函数的极值
3, 求函数的极值
4, 求函数的极值
5, 求函数在条件下的极值.
6,求函数在条件下的极值
7, 要造一个容积等于定数的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
8, 斜边长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形的直角边的边长.
9, 把正数分成三个正数之和，使它们乘积最大.
10, 在平面上求一点，使它与点和点的距离平方和为最小.
11, 求点到曲面的最短距离.
[答案：1, 极大.
2, 时，极大，时，极小，
3, 极小， 4, 极小， 5, 极大，
6, 极小，
7, 长、宽为，高 8, 9, 10, 11, 1 ]
七，二重积分
一，在下列积分区域上，将二重积分化为二次积分
1 是以为顶点的三角形.
2 是由围成的区域.
3 是由围成的区域
4 是由围成的区域
5 是由围成的区域
二，交换积分次序
1 2
3 4
5
三，计算二重积分
1
2
3
4
5 是由所围成的区域
6 是由所围成的区域
7 是由所围成的区域
8 是由所围成的区域.
四，利用极坐标变换计算二重积分
1
2 ，
3 ，
4

[答案：一，1，
2,
3,
4,
5,
二，1, 2,
3, 4,
5,
三，1, 8,
四，1, 2, 3, 4, ]
*八，三重积分
1, 计算三重积分,
2, 计算三重积分,由围成.
3, 计算三重积分,
[答案：1, 1 2, 3, ]
九，曲线积分
一， 第一类（对弧长）的曲线积分

练习题
1 计算,其中是由直线所构成的矩形回路.
2 计算,其中是抛物线从点到点(1,2)的一段弧.
3 计算,其中是直线上从点到点之间的一段.
4 计算其中是以为顶点的三角形回路.
5计算其中是(1)直线上点(0,0)到点之间的一段；
（2）圆周上由点到点的一段弧.
[答案：1 ,24; 2 , 3, 4, 5, (1)(2)]
二， 第二类（对坐标）曲线积分
1 计算,其中是由点到点的(1) 直线段；（2）抛物线；（3）抛物线；（4）立方抛物线.
2 计算其中是由坐标轴和直线所构成的正向（逆时针方向）三角形回路.
3 计算其中的参数方程为
4 计算(正方向)
5 计算由围成的正方向回路.
6 设是由直线所围成三角形的正方向边界，求曲线积分

[答案：1,(1) 2, 3 3, 4, 5, 6, . ]
十，曲面积分
一， 第一类（对面积）的曲面积分
1 设为平面在第一卦限部分，求

2设为平面在第一卦限部分，求
3计算曲面积分，在xoy坐标面的上方部分
[答案：1, ; 2, ; 3, .]
二， 第二类（对坐标）的曲面积分
1, 计算曲线积分

其中为平面在第一卦限部分的上侧.
2, 计算曲线积分

其中是以为顶点的四面体外侧.
3, 计算曲线积分

其中是柱面与平面所围立体的外侧.
4, 计算曲线积分

其中为球面的外侧.
5, 计算曲线积分

其中是上半个球面与平面围成封闭曲面外侧.
[答案：1, ; 2, 3, 4, 5, . ]
十一，常数项级数
1, 用比较判别法判别下列级数的敛散性.
(1) (2) (3) (4)
2, 用比值判别法判别下列级数的敛散性.
(1) (2) (3)
3, 用极限判别法判别下列级数的敛散性.
(1) (2)
4 判断下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
(1) (2)
(3) (4)
[答案：1,(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 (4) 发散2,(1)收敛 (2)收敛 (3)收敛 3,(1) 发散(2)收敛
4,(1)条件收敛 (2)绝对收敛 (3)绝对收敛 (4)条件收敛 ]
十二，幂级数
练习题
1, 求下列幂级数的收敛半径与收敛域.
(1) (2) (3) (4)
2, 求下列幂级数的收敛域及和函数.
(1) (2) (3)
3, 将下列函数展为的幂级数
(1) (2) (3) (4)

[答案：1,(1) (2) (3) (4)
2,(1) (2) (3)
3, (1) (2) (3)
(4) ]
十三，综合练习
1.设的二阶偏导数存在，证明：的充分必要条件是．
2.设二正数与的和为定值，证明，其中为正整数．
3.设在闭区间上连续，证明
．
4. 设在闭区间上连续且恒大于零，证明
．
5.若正项级数收敛，证明正项级数也收敛．
6.求的收敛域及和函数
[答案与提示：
1.充分性：令，，．
2.先求条件极值，得唯一驻点，将在驻点处函数值与在边界点的函数比较，说明在驻点处取得最小值．
3.,;由
取
4.

5.
6.

附1：一，导数公式 三，积分公式
1, 1,
2, 2,
3, 3,
4, 4,
5, 5,
6, 6,
7, 7,
8, 8,
9,
10, 9,
11,
12,
13,
14,
二，求导法则 四，分部积分公式
1,
2,
3,
4, 5, 若,则

附件2

06---07学年北京邮电大学世纪学院学位课程：
《高等数学》试题(理工科类)与解答
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1.方程表示的图形是(A)
A. 椭球面 B. 抛物面
C. 圆柱面 D. 锥面
2.函数的定义域是(C )
A. B.
C. D. 且
3.设,则（A）
A. B.
C. D.
4.函数在驻点( B )
A. 取到极小值 B. 取到极大值
C. 取不到极值 D. 无法判断是否有极值
5.下列级数中收敛的是（D）
A. B.
C. D.
6.函数展开成的幂级数为（A）
A. B.
C. D.
7.设常数则级数 (B)
A. 发散 B. 条件收敛
C. 绝对收敛 D. 敛散性与有关
8.设是由，所围成的闭区域，则(D )
A. B.
C. D. 0
9.设由点到的直线段，则(D)
A. B.
C. D.
10.设是由直线及所围成的三角形的正向边界，则曲线
积分( B)
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题3分，共15分)
1. 过点和的直线方程是

2. 设则
3. 设为平面在第一卦限的部分，则
4. 设展开的傅里叶级数为，
则
5. 设,其中可微，则
三 计算题(本题共36分)
1.(8分)设 ，求
解 (2分)
(3分)
(3分)
2.(7分)求曲面在的法线方程.
解 设 ，则
(3分)
则曲面在点的法向量为. (2分)
曲面在的法线方程为 (2分)
3.(9分) 求幂级数的收敛域及和函数.
解 ，
幂级数的收敛半径为1,且当时，幂级数发散，
因此幂级数的收敛域为. (3分)
，
， (2分)
设 ，当时，两边从到积分得

两边关于求导得
.
因此，幂级数的和函数为 (4分)
4. (9分)计算二重积分, 其中
解 利用极坐标 ，设 (2分)
(4分)
= (3分)
5.(8分)计算曲面积分,其中为上半球面
与平面围成的封闭曲面的外侧.
解 运用高斯公式，及球坐标公式

(3分)
(2分)
(3分)

四、应用题（本题共8分）
求点到曲面()的最短距离.
解 点到曲面任一点的距离为.
构造拉格朗日函数
. (2分)
对各变元求导,并分别令为零得
(3分)
解之得,,, (2分)因此，点到曲面的最短距离为.(2分)
五、证明题(本题共6分)
设函数在上连续，证明
.

证 交换积分次序，得
. (2分)
又
(1分)

(2分)

(1分)

证毕.

19