广义积分的概念.pptx

第十一章第十一章反反常常积积分分1反常积分概念反常积分概念教学内容：1.反常积分概念的引入2.无穷积分的定义3.瑕积分的定义教学重点：无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分教学难点：反常积分概念的引入一一.问题的提出问题的提出定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数,但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分”。例例1：（第二宇宙速度问题）：（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？从而火箭从地面上升到离地心r(R)处需作的功为最后由机械能守恒定律得把各数值代入可求得结果。例例2：圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R，桶底有一半径为r的小孔。试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？解：从物理学知道，当桶内水位高度为h-x时，水从孔中流出的速度为设在很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx,它们满足所以流完一桶水所需时间可写为“积分”但是因为这里的被积函数是0,h)上的无界函数，故 从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及无界函数的“积分”。二二.无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分1.定义 无穷区间有三种，分别给出其定义：定义定义1：无穷限反常积分无穷限反常积分（简称无穷积分无穷积分）,记为收敛。收敛。如果极限（1）不存在，发散。发散。注意注意：同理可给出当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。注意：注意：的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关。Oxya2.利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值方法：方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛，极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。例例3 3：结论：结论：要求熟记要求熟记注意：注意：下面再看如何利用此结论解题 例例4 4：解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关 方法如换元积分法或分部积分法来处理3.利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值 在定积分里，我们有牛顿莱布尼兹公式：既然无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式 来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。公式：公式：注意：注意：上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。例例5 5：三三.无界函数的反常积分无界函数的反常积分1.瑕点的定义瑕点。瑕点。2.无界函数反常积分的定义定义定义2：无界函数无界函数的反常积分反常积分（简称瑕积分瑕积分），记为收敛。收敛。发散。发散。注意：注意：同理可以给出另外几种情形的定义：当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。注意：注意：2.讨论无穷积分的敛散性以及求其值的方法 (1)利用定义方法：方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，瑕积分收敛，极限值就是瑕积分的值；若极限不存在，瑕积分发散。例例6 6：结论：结论：要求熟记要求熟记注意：注意：（1）此结论以后是经常用到的，要熟记。（2）此结论可以推广为以下几种情形：由例3和例6的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知结论：结论：(2)利用公式公式：公式：注意：注意：上面的公式可以推广到另外三种瑕积分的情形。以下通过例子来说明例例7：