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第二章 单层K8型椭球壳稳定性的几何参数分析

2.1 引言

由于网壳结构的折算厚度相对于跨度是非常小的，结构在出现材料非线性之前有可能产生各种弹性不稳定现象，这就使得结构几何非线性的稳定性计算成为设计中需考虑的一个很重要因素。本章即从大规模的几何参数分析入手，研究单层K8型椭球面网壳结构的静力稳定性，包括跨度、矢跨比、杆件截面尺寸等对结构稳定性的影响。
在参数分析中，文中仅考虑几何非线性，是因为：（1）如果既考虑几何非线性又考虑物理非线性的全过程分析，即对结构进行弹塑性大位移分析，这种分析方法虽然在理论上国外学者做过一些探讨，但对如此大规模的参数分析来说，所需计算时间需增加很多倍，在目前有限的时间内是不可能的。（2）网壳结构的正常工作状态是在弹性范围内，材料非线性对结构的稳定性及其临界荷载的影响实际上是使结构稳定承载力的安全储备稍有下降，这种影响有可能从定量上作出适当判断。

2.2 计算模型及参数分析方案

如前所述，本文所研究的椭球面网壳的结构形式为8型，其曲面公式为：
(2.1)
其中，a为长半轴，b为短半轴，f为矢高，如图2.1所示。
文中对结构进行静力稳定性分析时，均采用Ansys5.6[40]有限元分析软件进行计算。考虑到单层网壳的结点均为刚性连接，其周围的支承结点一般也均固接在下部支承结构上，当下部支承结构具有一定的刚度时，网壳的支承结点可按固接考虑，所以在本文的计算模型中，结构杆件均采用空间梁单元（Beam4），结构的支座基本采用固支。对于实际工程中，可能遇到的铰支座的情形，如下部支座刚度不足或采用某些允许适当转动的支座等情形，本文在第四章专门对两种支承情形作了比较。本章仅分析几何参数对结构稳定性的影响，为便于分析，结构所受荷载按满跨均布荷载考虑，对结构的跨度、矢跨比及杆件截面尺寸则按以下参数进行分析：

图2.1 单层椭球面网壳平、立面图

1．跨度和矢跨比
从工程实际应用角度考虑，文中取结构的长跨为定值50m，即2a＝50m，短跨（2b）和矢跨比（f/2b）按如下几种比例选取：
短跨：＝0.6、0.7、0.8、0.9、1.0；
矢跨比：＝0.2、0.3、0.4、0.5、0.6。
由于椭球的特殊性，结构杆件的长度分布很难像普通球壳那样均匀，文中通过改变K8型网格的分割频数来调整杆件的长度，使其控制在2～5m范围内，如表2.1所示。

表2.1
短跨（2b）
30m
30m
30m
30m
30m
矢跨比（f/2b）
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
分割频数
8
8
8
8
8
短跨（2b）
35m
35m
35m
35m
35m
矢跨比（f/2b）
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
分割频数
8
8
8
8
8
短跨（2b）
40m
40m
40m
40m
40m
矢跨比（f/2b）
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
分割频数
8
8
8
9
9

短跨（2b）
45
45
45
45
45
矢跨比（f/2b）
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
分割频数
8
9
9
9
10
短跨（2b）
50
50
50
50
50
矢跨比（f/2b）
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
分割频数
9
9
9
9
11

2.杆件截面尺寸
同样从实际应用角度出发，结构杆件一律选取比较常用的圆钢管。在参数分析中，对应于每一跨度、每一矢跨比按照实际工程常用的规格选用了四套不同的截面尺寸，按截面增强顺序分别记为S1、S2、S3、S4。每套截面中经向主肋和纬杆采用较大截面，斜杆采用较小截面。表2.2中列出了各套截面的具体尺寸。
表2.2
截面
S1
S2
S3
S4
斜杆
φ108×4
φ127×4.5
φ140×4.5
φ159×6
主肋和纬杆
φ140×4.5
φ159×6
φ168×6
φ180×8

在得到极限荷载和网壳的杆件截面尺寸之间的关系时，为了寻找合适的量来反映杆件的截面变化，常把网壳等代为壳。刚度的等代方法，文[41]有介绍。对于凯威特n型网壳，在某纬度处1/n网格的展开投影图如图2.2所示。斜向杆与纬向杆夹角为，设经向杆、纬向杆和斜向杆的截面积、惯性矩和间距分别为、、、、、和、，并设
， (2.2)

Acj Ac1 Ac0

Acm

图2.2 凯威特型网壳的网格体系

式中、表示相应杆系在自身方向的等代厚度与抗弯刚度，为材料的弹性模量。结构各向异性，忽略各杆件扭转刚度的影响，结构两个主方向的等代刚度可近似表达为：
(2.3)
，
，
式中 ， (2.4)

2.3 全过程分析

对于大型网壳结构，其屈曲过程都是比较复杂的，为了初步了解椭球面网壳结构的屈曲性能和破坏机理，下面选取短跨2b＝30m、矢跨比f/2b＝0.6（即f＝18m）、杆件截面为S1、周边结点固接支承的结构（如图2.3所示）作为算例，对其进行荷载-位移的全过程分析，研究该结构作为理想壳的稳定性能和经过若干次屈曲后的结构位移形态。
图2.4给出了结点①～⑥（如图2.3）的荷载-位移曲线。从图中可以看出，当荷载加到34.69kN/m2（对应图2.4中的上极限点A）时，结构发生第一次屈曲，相应的屈曲模态如图2.5所示，总体来说属于结构的整体屈曲，屈曲后的结构刚度矩阵是非正定的，荷载呈下降趋势。由图还可看出，在结点①、②、③处，屈曲后的位移持续增大，形成局部凹陷；在结点⑥处，虽然位移最大，但屈曲后的位移随着荷载的下降而变小，没有形成明显的凹陷。当荷载降到20.84kN/m2时，出现荷载下极限点，荷载又呈上升阶段，这时可认为结点①、②、③已达到反向的稳定位置。荷载上升到24.49kN/m2（对应图2.4中的B点）时，发生第二次屈曲，荷载又呈下降趋势，这次屈曲主要表现为结点④的跳跃屈曲，其相邻结点的位移变化相对较小，相应的屈曲模态如图2.6所示。由图中可看出，此时结点①、②、③附近已形成较大凹陷，结构发生了局部失稳。当结点④达到反向的稳定位置后（荷载降到11.54kN/m2时），荷载又呈上升形式，进而又以类似的形式出现第三次屈曲、第四次屈曲……。曲线每上下波动一次都代表以某一个结点为主的跳跃屈曲，随着屈曲次数的增加，网壳的局部凹陷也越来越大，进而结构发生破坏。
以上分析是为了对加荷全过程的椭球面网壳结构的屈曲性能及屈曲模态有一
个大致的了解，但对实际结构设计来说，我们所关心的是结构的实际极限承载能力，结构经过若干次屈曲后，其荷载-位移曲线和屈曲模态并不十分重要。对工程设计而言，有意义的仅仅是第一个上极限点，因为第一个上极限点都高于其后的各个极限点，当荷载超过第一个极限点时，结构也将失去稳定承载能力，而且越到后面的极限点，结构的最大位移越大，往往已超过结构设计的容许变形范围，因此分析后面的极限点实际意义不大。

图2.3 椭球面网壳（2b＝30m、f/2b＝0.6、杆件截面为S1）

荷载（kN/m2）

A 结点①

B

位移（cm）

图2.4 结点①～⑥荷载-位移曲线

荷载（kN/m2）

结点②

位移（cm）

荷载（kN/m2）

结点③

位移（cm）

荷载（kN/m2）
A

B 结点④

位移（cm）

图2.4（续）

荷载（kN/m2）

结点⑤

荷载（kN/m2）
位移（cm）

结点⑥

位移（cm）

图2.4（续）

图2.5 A点时屈曲模态

图2.6 B点时屈曲模态

2.4 极限荷载和屈曲模态

对每例结构进行非线性屈曲分析后，如前所述，可得到结构每个结点的荷载-位移曲线，为节省篇幅，也为了便于比较，文中仅选取各算例结构中位移最大的结点(记为M)进行比较，荷载-位移曲线中，一般也仅选取开始屈曲的那一段曲线（越过第一个极限点后还保留一段屈曲后路径），且取第一个临界点处的荷载值作为结构的极限荷载。
图2.7给出了包括五种短跨、五种矢跨比、四种截面尺寸的100个网壳结构在满跨均布荷载作用下的荷载-位移曲线。
由图中可以看出，当荷载达到极限荷载后，结构的刚度矩阵非正定，荷载呈下降趋势。图2.8给出了2b＝30m、杆件截面为S1的结构发生第一次屈曲时的屈曲模态。屈曲时位移最大点M处在从内向外第二圈纬杆上的斜杆结点上（如图2.8所示）。当矢跨比为0.2、0.3、0.4、0.5时，随着荷载的下降，结构在M点处的位移继续增大，从而在M点附近形成局部凹陷；当矢跨比为0.6时，随着荷载的下降，M点的位移却随之变小，而N点的位移变大，在该处附近形成局部凹陷这在前文已有所述，如图2.6中所示）。这是因为矢跨比过大，结构靠近下部的杆件（如图2.3中结点①附近的杆件）与水平方向的夹角较大，局部曲率较小，杆件较陡，承受的轴压力很大，因此该处杆件就较容易发生失稳。

2.5 对极限荷载的参数分析

下面将对理想网壳结构的极限荷载进行统计分析，分别考察短跨、矢跨比及杆件截面尺寸三个参数当其中之一单独改变时网壳极限荷载值的变化规律。图2.9、2.10、2.11分别给出了结构的极限荷载与这三个参数之间的关系曲线。
如2.3节所述，根据拟壳法理论，可用网壳的等代刚度来代表网壳杆件截面的大小。图2.11中即以作为关系曲线的横坐标，其中和分别为等代薄膜刚度和等效抗弯刚度。对K型椭球面网壳来说，其等效薄壳一般是各向异性的，为简化公式，可将和理解为两个方向的平均指标，即取，。实际网壳往往根据不同部位受力大小采用几种规格的杆件，因此它的等效刚度沿壳面并不均匀。对结构进行屈曲分析可知道，屈曲时位移最大的结点M一般都位于从内向外第二圈纬杆上的斜杆结点处（如图2.12所示），取该纬度附近1/8网格（如图中实线部分）的网格尺寸和杆件截面来计算网壳的等代刚度。

荷载（kN/m2）
2b=30m，f/2b=0.3
2b=30m，f/2b=0.2
荷载（kN/m2）

S4 S4
S3
S3
S2 S2
S1 S1

位移（cm） 位移（cm）荷载（kN/m2）
荷载（kN/m2）

2b=30m，f/2b=0.4
2b=30m，f/2b=0.5

S4 S4
S3 S3

S2 S2
S1 S1

位移（cm） 位移 （cm）
荷载（kN/m2）
2b=35m，f/2b=0.2
荷载（kN/m2）

2b=30m，f/2b=0.6

S4 S4

S3
S2 S3
S1 S2
S1

位移（cm） 位移（cm）
荷载（kN/m2）
荷载（kN/m2）
2b=35m，f/2b=0.3
2b=35m，f/2b=0.4

S4 S4

S3 S3
S2 S2

S1 S1

位移（cm） 位移（cm）
图2.7 结构在均布荷载下的荷载-位移曲线

荷载（kN/m2）
2b=35m，f/2b=0.6
2b=35m，f/2b=0.5

荷载（kN/m2）

S4 S4

S3 S3
S2 S2

S1 S1

位移（cm） 位移（cm）
2b=40m，f/2b=0.2
2b=40m，f/2b=0.3
荷载（kN/m2）
荷载（kN/m2）

S4 S4
S3
S2 S3 S2
S1 S1

位移（cm） 位移（cm）

2b=40m，f/2b=0.5
2b=40m，f/2b=0.4
荷载（kN/m2）

荷载（kN/m2）

S4 S4
S3 S3
S2
S2
S1 S1

位移（cm） 位移（cm）
2b=40m，f/2b=0.6
2b=45m，f/2b=0.2
荷载（kN/m2）
荷载（kN/m2）

S4 S4
S3 S3
S2 S2
S1
S1

位移（cm） 位移（cm）
图2.7 (续)

2b=45m，f/2b=0.3
2b=45m，f/2b=0.4

荷载（kN/m2）
荷载（kN/m2）

S4 S4

S3 S3
S2 S2
S1
S1

位移（cm） 位移（cm）
荷载（kN/m2）
2b=45m，f/2b=0.6
荷载（kN/m2）
2b=45m，f/2b=0.5

S4 S4

S3 S3
S2 S2
S1 S1

位移（cm） 位移（cm）

荷载（kN/m2）
2b=50m，f/2b=0.2
2b=50m，f/2b=0.3
荷载（kN/m2）

S4 S4
S3 S3

S2 S2
S1 S1

位移（cm） 位移（cm）

荷载（kN/m2）
2b=50m，f/2b=0.5
2b=50m，f/2b=0.4
荷载（kN/m2）

S4 S4
S3 S3

S2 S2
S1 S1

位移（cm） 位移（cm）
图2.7 (续)

荷载（kN/m2）
2b=50m，f/2b=0.6

S4
S3
S2

S1

位移（cm）
图2.7 (续)

M M

f/2b=0.2 f/2b=0.3

M M

f/2b=0.4 f/2b=0.5

M

N

f/2b=0.6

图2.8 2b＝30m、杆件截面为S1的结构屈曲模态

由图2.9看出，网壳承载力随短跨的变化不明显，说明短跨对结构的承载力影响较小，这是因为短跨变化时，矢跨比不变，矢高随着短跨的增大也跟着增大，因此短跨变化对结构的承载力影响就不明显了

极限荷载（kN/m2）
极限荷载（kN/m2）
f/2b=0.2 f/2b=0.3

2b/2a 2b/2a

极限荷载（kN/m2）
f/2b=0.4 f/2b=0.5
极限荷载（kN/m2）

2b/2a 2b/2a

f/2b=0.6
极限荷载（kN/m2）

2b/2a
图2.9 结构极限荷载随短跨（2b）的变化曲线

矢跨比对承载力的影响比较大，近似呈三次曲线关系。当矢跨比不大于0.5时，随着矢跨比的增大，极限荷载递增幅度较大，当矢跨比超过0.5时，增大幅度就降低了。同2.4节所述，矢跨比过大时，结构靠近下部的杆件承受的轴压力较大，该处杆件比较容易发生失稳，因此增加矢跨比可提高结构的承载力，但当矢跨比太大时，效果就不明显了，个别情况甚至会出现承载力下降的现象。

极限荷载（kN/m2）
2b＝30m 2b＝35m
极限荷载（kN/m2）

f/2b f/2b

极限荷载（kN/m2）
极限荷载（kN/m2）
2b＝40m 2b＝45m

f/2b f/2b

极限荷载（kN/m2）
2b＝50m

f/2b
图2.10 结构极限荷载随矢跨比（f/2b）的变化曲线

网壳承载力随截面的等效刚度的变化更具有规律性，大致呈线性增长关系，这同单层K8型球壳结构性质相似[3]。
极限荷载（kN/m2）
极限荷载（kN/m2）

2b=30m 2b=35m

(103kN) (103kN)
极限荷载（kN/m2）
极限荷载（kN/m2）

2b=40m 2b=45m

(103kN) (103kN)
图2.11 结构极限荷载随截面大小的变化曲线
极限荷载（kN/m2）

2b=50m

M

(103kN)
图2.11 （续） 图2.12 凯威特型椭球面网格

以上分析的椭球面网壳结构的极限荷载随各参数的变化关系，同单层球壳的变化规律相似，根据这些规律，可以对其承载力进行公式拟合，以供实际设计应用（见本文第四章）。

2.6 本章小结

本章对凯威特K8型单层椭球面网壳的静力稳定性能进行了大规模的参数分析，可得出以下结论：
（1） 结构的失稳破坏经历了多次屈曲，表现为荷载-位移曲线的多次上下波动，每波动一次都代表以某一个结点为主的跳跃屈曲，随着屈曲次数的增加，网壳的局部凹陷也越来越大，进而结构发生破坏。
（2） 网壳的失稳大多数从自内向外第二圈纬杆上的斜杆结点M处开始，当矢跨比为0.2、0.3、0.4、0.5时，随着荷载的下降，结构在M点处的位移继续增大，形成局部凹陷；当矢跨比为0.6时，随着荷载的下降，M点的位移却随之变小，而在其它点处形成局部凹陷，这是因为矢跨比过大，该处杆件与水平方向的夹角较大，杆件较陡，承受的轴压力很大，因此该处杆件就较容易发生失稳。
（3） 网壳承载力随短跨的变化不明显；矢跨比对承载力的影响则比较敏感，近似呈三次曲线关系，且当矢跨比不大于0.5时，随着矢跨比的增大，极限荷载递增幅度较大，当矢跨比超过0.5时，增大幅度就降低了；网壳承载力随杆件截面尺寸的变化具有很好的规律性，基本呈线性增长关系。