1、 WORD格式整理版指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质(一)整数指数幂1整数指数幂概念: 2整数指数幂的运算性质:(1) (2)(3)其中, 3的次方根的概念一般地,如果一个数的次方等于,那么这个数叫做的次方根,即: 若,则叫做的次方根, 说明:若是奇数,则的次方根记作; 若则,若则;若是偶数,且则的正的次方根记作,的负的次方根,记作:;(例如:8的平方根 16的4次方根) 若是偶数,且则没意义,即负数没有偶次方根; ;式子叫根式,叫根指数,叫被开方数。 4的次方根的性质一般地,若是奇数,则; 若是偶数,则5例题分析:例1求下列各式的值: (1) (2) (3) (4)例2已知 , 化
2、简:(二)分数指数幂1分数指数幂: 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;如果幂的运算性质(2)对分数指数幂也适用,例如:若,则, 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是; (2)正数的负分数指数幂的意义是2分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即 说明:(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用; (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。3例题分析:例1 用分数指数幂的形式表示下列各式: , , .例2计算下列各式的值(式中字母都是正数)(1);
3、 (2);例3计算下列各式:(1) (2)(三)综合应用例1化简:. 例2化简:.例3已知,求下列各式的值:(1);(2).二、指数函数1指数函数定义:一般地,函数(且)叫做指数函数,其中是自变量,函数定义域是2指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质: 图象性质(1)定义域:(2)值域:(3)过点,即时(4)在上是增函数(4)在上是减函数例1求下列函数的定义域、值域:(1) (2) (3) 例2当时,证明函数 是奇函数。例3设是实数,(1)试证明:对于任意在为增函数;(2)试确定的值,使为奇函数。三、对数的性质1对数定义:一般地,如果()的次幂等于N, 就是,那么数 b叫做a为底 N的对数,
4、记作 ,a叫做对数的底数,N叫做真数。即, 指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明:1在指数式中幂N 0,在对数式中,真数N 0(负数与零没有对数)2对任意 且 , 都有 ,同样:3如果把中的写成, 则有 (对数恒等式)3介绍两种特殊的对数:常用对数:以10作底 写成 自然对数:以作底为无理数,= 2.71828 , 写成 例2(1)计算: , (2)求 x 的值:; (3)求底数:, 4对数的运算性质:如果 a 0 , a 1, M 0 ,N 0, 那么(1);(2);(3)例3计算:(1) lg1421g; (2); 5换底公式: ( a 0 , a 1 ;)证明:设,则, 两边取以
5、为底的对数得:,从而得: , 说明:两个较为常用的推论:(1) ; (2) (、且均不为1)证明:(1) ;(2) 例4计算:(1) ; (2) 例5已知,求(用 a, b 表示)例6设 ,求证:四、对数函数1对数函数的定义:函数 叫做对数函数。2对数函数的性质:(1)定义域、值域:对数函数的定义域为,值域为(2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形,即可获得。同样:也分与两种情况归纳,以(图1)与(图2)为例。 11(图1)11(图2)(3)对数函数性质列表: 图象性质(1)定义域:(2)值域:(3)过点,即当时,(4)在(0,+)
6、上是增函数(4)在上是减函数例1求下列函数的定义域:(1) ; 例2比较下列各组数中两个值的大小: (1),; (3),.例3比较下列比较下列各组数中两个值的大小:(2),; (3),; 例4已知,比较,的大小。解:, ,当,时,得, 当,时,得, 当,时,得, 综上所述,的大小关系为或或例5求下列函数的值域:(3)(且) 例6判断函数的奇偶性。例7求函数的单调区间。指数函数和对数函数单元测试一 选择题1. 如果,那么a、b间的关系是 【 】A B C D 2. 已知,则函数的图象必定不经过 【 】A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 与函数yx有相同图象的一个函数是 【
7、 】A B ,且 C D ,且4. 函数y=|log2x|的图象是( )A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO5.已知函数在上是x的减函数,则a的取值范围是 【 】A B C D 6. 已知函数的值域是,则它的定义域是 【 】A B C D 7.已知函数在区间是减函数,则实数a的取值范围是 【 】 A B C D 8. 设,则 【 】A2x1 B3x2 C1x0 D0x19. 函数的定义域为E,函数的定义域为F,则【 】A B C D 11. 已知,则 ( )AB C D12.函数的定义域是 ( )A. B. C. D. 二 填空题13. 计算: 14. 的定义域是_ 。15. 方程的解 _。16. 若函数的的图像过点,则_.三 解答题17. 求下列函数的定义域和值域(1) (2)18. 求下列函数的单调区间(1) (2)19. 已知函数(1)求的定义域;(2) 讨论的单调性。20已知 求的值 学习好帮手