1、一、主要内容一、主要内容问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分定积分存在定理存在定理广义积分广义积分定定积积分分的的性性质质牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式定定积积分分的的计计算算法法二、内容提要 1 定积分的定义定积分的定义定义的实质定义的实质几何意义几何意义 物理意义物理意义2 可积和可积和 可积的两个可积的两个充分充分条件条件3 定积分的性质定积分的性质线性性线性性可加性可加性非负性非负性比较定理比较定理估值定理估值定理 积分中值定理积分中值定理积分中值公式积分中值公式若若M 和和 m 是是 变上限定积分及其导数变上限定积
2、分及其导数 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分的计算法定积分的计算法（1）换元法）换元法换元积分公式换元积分公式（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式微积分基本公式微积分基本公式 利用对称区间上奇偶函数的性质简化利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算定积分的计算广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分三、典型例题三、典型例题例例1 1解解例例2广义积分中值定理广义积分中值定理设设f(x)在在 a,b上连续，上连续，g(x)在在 a,b上可积，且上可积，且不变号，则不变号，则证证因因f(x)在在 a,b上连续，故上连
3、续，故f(x)在在 a,b上必取得上必取得 最大值最大值M和最小和最小m，又又g(x)在在 a,b上不变号上不变号故不妨设故不妨设若若则由上式知则由上式知可取可取a,b内任一点内任一点若若由介值定理由介值定理例例3 证明证明证一证一由广义积分中值定理由广义积分中值定理证二证二例例4求极限求极限证三证三解解 如果能把数列的通项写成如果能把数列的通项写成的形式的形式就可以利用就可以利用或或把数列极限问题转化为定积分把数列极限问题转化为定积分 的计算问题的计算问题与数列的极限有着密切联系与数列的极限有着密切联系由以上两例可见，连续函数由以上两例可见，连续函数 f(x)的定积分的定积分证明证明Cauc
4、hy-Schwarz不等式不等式证证例例7记记 则则另证另证定积分不等式的证明方法定积分不等式的证明方法辅助函数法辅助函数法将一个积分限换成变量，移项使一端为将一个积分限换成变量，移项使一端为 0另一端即为所求作的辅助函数另一端即为所求作的辅助函数 F(x)判定单调性，与端点的值进行判定单调性，与端点的值进行比较即得证比较即得证例例8设设 求求解解这是这是 型未定式的极限型未定式的极限解解由由LHospital法则法则a =0 或或 b=1将将 a=0 代入知不合题意代入知不合题意故故b=1例例9 试确定试确定 a,b 的值使的值使证明证明证一证一由定积分的定义由定积分的定义（因因 f(x)是
5、凸函数）是凸函数）证二证二 记记 则则a 0例例10 设设上凸上凸故其上任一点的切线都在曲线的上方故其上任一点的切线都在曲线的上方在在 x=a 处的切线方程为处的切线方程为证三证三易证明当易证明当 t 0 时有时有 或或又曲线又曲线例例11设设 f(x)在在 a,b 上连续且上连续且 f(x)0 证明证明令令则则 F(x)在在 a,b 上连续，在上连续，在(a,b)内可导内可导即即 F(x)单调增单调增设设则则由介值定理得由介值定理得即即证证解解例例12例例13 设设 f(x)在在 0,1 上连续，且单调不增上连续，且单调不增证明证明 对任何对任何有有证一证一由积分中值定理由积分中值定理再由再
6、由f(x)单调不增单调不增证二证二则则F(1)=0再由再由f(x)单调不增单调不增证三证三证四证四证五证五由由f(x)单调不增单调不增例例14 计算计算解一解一=0=0解二解二由定积分换元法知由定积分换元法知例例15 证明证明 方程方程在在(0,1)内至少有一根内至少有一根证证则则 F(x)在在 0,1 上连续，在上连续，在 (0,1)内可导内可导由由 Rolle 定理定理在在(0,1)内至少有一根内至少有一根例例16 已知周期为已知周期为L的函数在的函数在上是连续的奇函数，证明上是连续的奇函数，证明也是以也是以L为周期的函数为周期的函数证一证一对称区间上奇函数的积分对称区间上奇函数的积分证二
7、证二例例18 设设 f(x),g(x)在在 a,b 上连续，证明上连续，证明证证关键在于作出辅助函数关键在于作出辅助函数 F(x)则则 F(a)F(b)的符号不易判别，得不出结论的符号不易判别，得不出结论两边积分得两边积分得则则 F(x)在在 a,b 上连续，在上连续，在(a,b)内可导内可导且且F(a)=F(b)=0由由 Rolle 定理知定理知注：注：辅助函数法辅助函数法证明定积分等式证明定积分等式主要主要适用于证明在积分限中至少存在一点适用于证明在积分限中至少存在一点使等式成立的命题使等式成立的命题移项使一端为移项使一端为 0另一端即为另一端即为验证验证 F(x)满足介值定理或满足介值定理或 Rolle 定理定理
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