三角函数的图象与性质(教案).doc

1.4 1.4 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 教学目的：教学目的：（一）1.理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法;2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法;3.理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法.（二）1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;3.会求简单函数的奇偶性.（三）1.理解并掌握作正切函数和余切函数图像的方法;2.理解并掌握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法;3.掌握正切函数的性质和性质的简单应用;4.会解决一些实际问题.教学重点：教学重点：1.用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象;2.正、余弦和正切函数的性质.教学难点：教学难点：1.用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象;2.正、余弦和正切函数性质的理解与应用.教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：1.弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角.2.正、余弦函数定义：设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点),(yxP,P与原点的距离r(02222yxyxr)则 比值ry叫做的正弦 记作rysin 比值rx叫做的余弦 记作rxcos 比值xy叫做的正切 记作xytan 3.三角函数线:根据正弦,余弦,正切的定义,则有 MPsin,OMcos,ATtan ry)(x,P这三条与单位圆有关的有向线段ATOMMP,分别叫做角的正弦线,余弦线,正切线.当角的终边落在x轴上时,M与P重合,A与T重合,此时正弦线,正切线分别变成一个点;当角的终边在y轴上时,O与M重合,余弦线变成一个点,过A的切线平行于y轴,不能与角的终边相交,所以正切线不存在,此时角的正切值不存在.二、讲解新课：二、讲解新课：(一一)正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 1.用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识.正弦函数正弦函数xysin的图象的图象 第一步,在直角坐标系的x轴上任取一点1O,以1O为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里12n)等份.把x轴上从0到2这一段分成n(这里12n)等份.(预备：取自变量x值弧度制下角与实数的对应).第二步,在单位圆中画出对应于角0,6,3,2,2的正弦线正弦线(等价于“列表”).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).第三步,连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数xysin,2,0 x的图象.根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2,就得到xysin,Rx的图象.把角x()x R的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数xysin的图象.y=cosxy=sinx23456-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-65432-11yx-11oxy 余弦函数余弦函数xy cos的图象的图象 用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”.把坐标轴向下平移,过1O作与x轴的正半轴成4角的直线,又过余弦线AO1的终点A作x轴的垂线,它与前面所作的直线交于 A,那么AO1与AA长度相等且方向同时为正,我们就把余弦线AO1“竖立”起来成为AA,用同样的方法,将其它的余弦线也都“竖立”起来,再将它们平移,使起点与x轴上相应的点x重合,则终点就是余弦函数图象上的点.也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”(把角x的余弦线MO1按逆时针方向旋转2到11MO位置,则11MO与MO1长度相等,方向相同.)根据诱导公式)2sin(cosxx,还可以把正弦函数xysin的图象向左平移2单位即得余弦函数xy cos的图象.正弦函数xy sin的图象和余弦函数xy cos的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):正弦函数xysin,2,0 x的图象中,五个关键点关键点是:)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(余弦函数xy cos,2,0 x的图像中,五个关键关键点点是:)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.(二二)正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 1.1.定义域定义域 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R(或),().2.2.值域值域 (1)值域 因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以1|cos|,1|sin|xx,即1cos1,1sin1xx 也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是 1,1.(2)最值 正弦函数Rxxy,sin 当且仅当Zkkx,22时,取得最大值1 当且仅当Zkkx,22时,取得最小值1 余弦函数Rxxy,cos 当且仅当Zkkx,2时,取得最大值1 当且仅当Zkkx,2时,取得最小值1 3.3.周期性周期性 由)(,cos)2cos(,sin)2sin(Zkxkxxkx知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：定义：对于函数)(xf,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有)()(xfTxf,那么函数)(xf就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知,)0,(2,4,2,4,2kZkk都是这两个函数的周期.对于一个周期函数)(xf,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,0,2kZkk都是它的周期,最小正周期是2.4.4.奇偶性奇偶性 由xxxxcos)cos(,sin)sin(可知:xysin(Rx)为奇函数,其图象关于原点O对称 xy cos(Rx)为偶函数,其图象关于y轴对称 5.5.对称性对称性 正弦函数sin()yx x R的对称中心是,0kk Z,对称轴是直线2x kk Z;余弦函数cos()yx x R的对称中心是,02kk Z,对称轴是直线x kk Z(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交点).6 6.单调性单调性 从2,2,sinxxy的图象上可看出:当2,2x时,曲线逐渐上升,xsin的值由1增大到1 当2,2x时,曲线逐渐下降,xsin的值由1减小到1 结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间)(22,22Zkkk上都是增函数,其值从1增大到1;正弦函数在每一个闭区间)(22,22Zkkk上都是减函数,其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间)(2,2Zkkk上都是增函数,其值从1增加到1;余弦函数在每一个闭区间)(2,2Zkkk上都是减函数,其值从1减小到1.Rxxy,sin和Rxxy,cos的图象和性质(表中k Z)函数 xysin xy cos 图象 y=sinx-11oyx y=cosx-11oyx 定义域),(),(值域 1,1 1,1 最值 当22 kx,1maxy 当22 kx,1miny 当kx 2,1maxy 当 kx 2,1miny 奇偶性 奇函数 偶函数 对称中心,0kk Z,02kk Z 对称轴 2x kk Z x kk Z 最小正周期 2 2 单调性 22,22kk递增 22,22kk递减 2,2kk 递增 2,2kk递减 (三三)正正切函数的图象和切函数的图象和性质性质 1.1.正切函数正切函数xytan的图像的图像 在区间)2,2(内作出函数xytan图像,根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数Rxxytan,且zkkx2的图像,称“正切曲线”.2.2.正切函数和余切函数的性质正切函数和余切函数的性质 (1)定义域:zkkx2(2)值域:R(3)周期:zkkxRxxxxxxx,2,tancossincossintan且 zkkxRxxy,2,tan且的周期为T(最小正周期)(4)奇偶性:正切函数是奇函数 由诱导公式xxtan)tan(,我们可以证明正切函数是奇函数,正切函数的图像关于原点对成.(5)对称性:对称中心是,02kk Z,特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x轴的交点,另一类是渐近线与x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.(6)单调性:由图像可知,正切函数再区间Zkkk),2,2(内都是单调增函数.-11-3/2-3/2A-/2-3/8-/4-/8/23/8/4/8O1o1x 三、讲解范例：三、讲解范例：(一一)图象问题图象问题 例例 1 1 画出cos()yx x R与sin()yx x R两函数的图象,观察两曲线的平移关系.解解:略 例例 2 2 作下列函数的简图:(1)xysin1,2,0 x (2)|sin|xy (3）|sin xy 解解:略 例例 3 3 用五点法作函数2,0),3cos(2xxy的简图,并求其与直线2y交点个数.解解:略 例例 4 4 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x的集合:(1)21sin x (2)250(21cosxx 解解:略 例例 5 5 求下列函数的定义域:(1)1sin2xy (2)xxycos162 (3)xxycossin 解解:略 补充例题：补充例题：(1)函数xxfsin)(图象的对称轴是 _;对称中心是 _.(2)函数)3sin()(xxf图象的对称轴是_ ;对称中心是 _.(3)函数1)3sin(2)(xxf图象的对称轴是_ ;对称中心是 _.(4)函数)cos(xy与xy cos的图象关于_对称.(填一种情况即可)(5)方程10sinxx的根的个数为()A.7 B.8 C.9 D.10(6)用五点法作函数xy2sin2的图象时,首先应描出的五个点横坐标可是()A.2,23,2,0 B.,4,2,4,0 C.4,3,2,0 D.32,2,3,6,0 (二二)定义域、值域问题定义域、值域问题 例例 1 1 求下列函数的定义域:(1)xysin11(2)xycos21(3)3sin2lg(xy 求下列函数的值域:(1)43,3,1sinsin2xxxy(2)32,6),6sin(2xxy(3)3cos3cosxxy 解解:略 例例 2 2 求使下列函数取得最大值的自变量x(x R)的集合,并说出最大值是什么;若,)3 2x 呢？(1)1cos xy;(2)xy2sin 解解:略 例例 3 3 已知函数bxaxf)32sin(2)(的定义域为2,0,值域为 5,1.求ba,的值.解解:略 例例 4 4 求函数)2,0(2385cossin2xaxaxy的最大值.解解:略 例例 5 5 (1)已知xxxxycossincossin2(,0 x),求y的最大值和最小值.(2)求xxxxxxxxxf432234coscossin2cossincossin2sin)(的最大值和最小值.(注:)4sin(2cossinxxx,xxx2sin21cossin)解解:略 (三三)周期性、奇偶性问题周期性、奇偶性问题 例例 1 1 判断下列函数的奇偶性:(1)xxxxxfcossin1cossin1)(2)xxxxf2coscossin)(44(xxx22sincos2cos)(3)sin1lg(sin)(2xxxf(4)()sincosf xxx 解解:略 例例 2 2 (1)已知),(13sin)(为常数baxbaxxf,且7)5(f,求)5(f.(2)若()f x为奇函数,且当0 x时,xxxxf2cossin)(,求当0 x时,()f x的解析式.(3)若函数()sin()f xx是偶函数,求的值.解解:略 例例 3 3 求下列三角函数的周期,并探究其结.(1)xycos3 (2)xy2sin(3)621sin(2xy (4)35sin(2xy 解解:略 点评点评:一般地,函数RxxAy),sin(及函数Rxxy),cos(其中A、为常数,且0A,0)的周期2T.例例 4 4 (1)求函数xxxxy2cos32cos2sin42sin222的周期.(2)求函数)6(3sin4xy的周期.解解:略 例例 5 5 求下列函数的最小正周期:(1)|sin|xy (2)|1cos2|xy (3)|cos|sin|xxy 解解:略 例例 6 6(1)已知)(xf是周期为5的周期函数,且2007)1(f,求)11(f.(2)已知奇函数)(xf是R上的函数,且2)1(f,)()3(xfxf,求)8(f.解解:略 例例 7 7 )(xf是定义在R上的偶函数,其图象关于1x对称,对任意的21,0,21xx,都有)()()(2121xfxfxxf.(1)设2)1(f,求)41(),21(ff;(2)证明:)(xf是周期函数.解解:略 例例 8 8(1)若函数)(xfy(Rx)的图象关于直线ax与bx(ab)都对称,求证:)(xf是周期函数,且)(2ab是它的一个周期;(2)若函数)(xfy(Rx)满足)()()(axfaxfxf(常数Ra),求证:)(xf是周期函数,且a6是它的一个周期.解解:略 (四四)单调性问题单调性问题 例例 1 1 求下列函数(x R)的单调区间:(1)xycos (2)32cos(xy (3)62cos(xy (4)3sin(xy (5)xy2sin (6)421sin(xy 解解:略 例例 2 2 求下列的单调递增区间:(1)sin21()2xy (2)12log cosyx 解解:略 例例 3 3 不通过求值,比较下列各式的大小:(1)18sin(,)10sin(2)523cos(,)417cos(3)194sin,160cos (4)1sin,2sin,3sin 解解:略 例例 4 4 求函数)321sin(xy,2,2x的单调增区间.解解:略 例例 5 5 已知xxxfsin1sin1log)(21.(1)求)(xf的定义域和值域;(2)判断它的奇偶性、周期性;(3)判断)(xf的单调性.解解:略 (1),2|Zkkxx,Rxf)(2)奇函数,周期函数2T (2)增区间:Zkkk,22,22;减区间:Zkkk,232,22(五五)正切函数的图象和性质正切函数的图象和性质 例例 1 1 讨论函数4tanxy的性质.(定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性)解解:略 例例 2 2(1)用描点法作函数)2,23(),42tan(xxy的图像.(2)作出函数|tan|xy的图像,并根据图像求其单调区间.(3)作出函数2,0,tan1tan2xxxy且23,2x的简图.解解:略 例例 3 3 不通过求值,比较下列各组数的大小.(1)135tan,138tan(2)413tan,517tan(3)1tan,2tan,3tan,4tan 解解:略 例例 4 4 解不等式3tan x.解解:略 例例 5 5 求下列函数的定义域(1)1tancotxxy (2)tan1lg(xy (3)2tanxy 解解:略 例例 6 6 求函数),2(1tantan2ZkkxRxxxy且的值域.解解:略 思考：思考：如果4,3x,结果又如何？例例 7 7 证明：如果cottan),2(,且,那么必有23.证明证明:略 例例 8 8(1)求函数46tan3xy的定义域、值域,并指出其周期性、奇偶性、单调性.(2)求函数xy2tan的定义域、值域和周期,并作出它在区间,内的图像.解解:略 例例 9 9 试讨论函数xyatanlog的单调性.解解:略 例例 1 10 0 若),0(cos2Rmnxnmy的最大值是32,最小值是12,求函数xnmy)24tan(的最小正周期.解解:略 例例 1111 已知函数)2|,0,0)(tan(AxAy的图象与x轴相交的两个相邻点的坐标为)0,6(和)0,65(,且经过点)3,0(,求其解析式.解解:略 例例 1212 已知函数)3sin()(xaxf和)0)(3tan()(xbxg的最小正周期之和为3,()(),()3()122244fgfg且,求)(xf和)(xg的解析式.解解:略