1、定理定理1 设(即是齐次微分方程的两个线性无关的特解(1)线性微分方程解的结构定理常数),则是此方程的通解.为任意常数)定理定理2 设 是非齐次微分方程一个特解,是对应的齐次方程的通是非齐次方程的通解.的解,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 02 知识要点知识要点设定理定理3的两个特解,分别是非齐次方程则的特解.的两个不同的特解,则是非齐次方程对应的齐次方程的解齐次方程的解.定理定理4 设是非齐次方程是方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 03(2)二阶常系数齐次齐次方程的解法:的特征方程为当方程的通解为:时,特征方程有两个相异实根(特征方程法)当时,特征方程有两个相同实根方程的通解为:
2、当时,特征方程有一对共轭复根方程的通解为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 04(3)二阶常系数非齐次非齐次方程的通解Y.再求非齐次方程先求对应的齐次方程的求法 待定系数法.的一个特解即为非齐次方程的通解.特解自由项为时,可设:k 按不是特征根是特征单根是特征重根而取012是系数待定的n次多项式:的解法其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 05设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程解解的解,为任意常数,例例1(89.3分)则该非齐次方程的通解是().根据线性方程解的结构知:若是非齐次线性方程的解,则是对应的齐次线性方程的解,又线性无关,所以该非齐次方程的通解为即为:故选项(D)正确.D(8
3、3)题型题型1 高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构机动 目录 上页 下页 返回 结束 16例例1(96.3分)微分方程的通解为_.特征根为:解解故可设由于=1 不是特征方程的根,特征方程为将对应的齐次方程的解为:代入原方程得:则a=1.方程的特解为:原方程的通解为:应填:注释注释 本题考查二阶线性常系数非齐次非齐次方程的解法.则机动 目录 上页 下页 返回 结束 7题型题型2 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程解解求微分方程的通解.例例2(10.10分)特征根特征方程为:对应的齐次方程的解为:由于=1 是特征方程的单根,故可设将代入原方程解得:注释注释特解为本题考查二
4、阶线性常系数非齐次非齐次方程的解法.所给方程的通解为:(8-37)为:及机动 目录 上页 下页 返回 结束 8例例3(09.4分)若二阶常系数齐次微分方程满足条件则非齐次方程解解的通解为的解为_.由于是方程的通解,注释注释 本题考查二阶线性常系数非齐次非齐次方程的解法.该方程的两个特征根为故设非齐次方程的特解为代入方程得其通解为由可得所以(8-36)将其机动 目录 上页 下页 返回 结束 9例例4 (97.7分)求 f(u).设函数 f(u)具有二阶连续导数,而满足方程分析分析是一个偏微分方程,本题给出的若令解解 令可得关于f(u)的常微分方程,从而可求得 f(u).则z=f(u),求出二阶偏导后代入原方程则有z=f(u),代入原方程得:且特征方程为:特征根为:所以(8-17)机动 目录 上页 下页 返回 结束 10
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