二维形式的柯西不等式.pptx

二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 人教人教A版选修版选修4-5一、教材分析一、教材分析目录目录 二、学情分析二、学情分析五、教学过程五、教学过程 四、教法学法四、教法学法三、目标定位三、目标定位 六、板书设计六、板书设计七、教学反思七、教学反思一、教材分析一、教材分析二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式三角不等式不等式的证明基本不等式不等式的性质排序不等式n维柯西不等式二、学情分析二、学情分析学习了不等式学习了不等式的性质与证明，的性质与证明，向量基础知识，向量基础知识，掌握了不等式掌握了不等式变形方法以及变形方法以及数形结合基本数形结合基本方法。具备一方法。具备一定的观察、分定的观察、分析、逻辑推理析、逻辑推理能力。能力。该班学生的优点该班学生的优点是性格活泼，是性格活泼，好动脑筋，求知好动脑筋，求知欲强，善于并且欲强，善于并且乐于表达自己观乐于表达自己观点。点。该班学生的缺该班学生的缺点是懒惰，对点是懒惰，对前面所学知识前面所学知识遗忘比较多，遗忘比较多，头脑中所建立头脑中所建立的知识之间的的知识之间的联系比较弱，联系比较弱，因此数学综合因此数学综合能力不强。能力不强。三、目标定位三、目标定位知识与技能知识与技能：理解柯西不等理解柯西不等式的二维形式式的二维形式和变式以及向和变式以及向量形式，会简量形式，会简单应用柯西不单应用柯西不等式解决问题，等式解决问题，理解三角不等理解三角不等式和变式式和变式过程与方法：通过类过程与方法：通过类比的方法，探索柯西比的方法，探索柯西不等式的形式，并通不等式的形式，并通过数形结合方法探索过数形结合方法探索柯西不等式的向量形柯西不等式的向量形式并证明，通过数形式并证明，通过数形结合方法探索三角不结合方法探索三角不等式并证明，通过观等式并证明，通过观察分析柯西不等式的察分析柯西不等式的形式简单应用柯西不形式简单应用柯西不等式解决证明问题和等式解决证明问题和最值问题最值问题情感态度与价值观：情感态度与价值观：通过创设情境，提通过创设情境，提出问题，然后探索出问题，然后探索解决的办法，培养解决的办法，培养学生独立思考、合学生独立思考、合作探究、积极探索作探究、积极探索的习惯和逻辑推理的习惯和逻辑推理能力，渗透数学史能力，渗透数学史的教育，使学生体的教育，使学生体会数学的史学价值会数学的史学价值和美学价值和美学价值三、目标定位三、目标定位教学重点：教学重点：柯西不等式的证明和应用柯西不等式的证明和应用教学难点：教学难点：柯西不等式的发现、几何法证柯西不等式的发现、几何法证明柯西不等式、三角不等式的证明明柯西不等式、三角不等式的证明四、教法学法分析四、教法学法分析教法：教法：采取武汉市第四十九中学采取武汉市第四十九中学“主体探主体探究课堂教学模式究课堂教学模式”设置设置“问题串问题串”引导学引导学生展开探究生展开探究学法：学法：以学生为中心，采取独立思考和小以学生为中心，采取独立思考和小组合作讨论的方式进行探究式学习组合作讨论的方式进行探究式学习五、教学过程五、教学过程创设情境，引入课题创设情境，引入课题新课探究，形成结论新课探究，形成结论例解应用，深化认识例解应用，深化认识回顾过程，反思小结回顾过程，反思小结教教学学流流程程五、教学过程五、教学过程创创设设情情境，境，引引入入课课题题设计意图：设计意图：给学生指明探究给学生指明探究的方向的方向-要对要对(a2+b2)(c2+d2)进行配方，激发进行配方，激发了学习的热情，了学习的热情，也为后续要用几也为后续要用几何法证明柯西不何法证明柯西不等式和应用柯西等式和应用柯西不等式做了铺垫不等式做了铺垫五、教学过程五、教学过程问题问题1：还有其他方法：还有其他方法证明柯西不等式吗？证明柯西不等式吗？探究探究1:1:类比类比 的的推导过程，请你猜想关于推导过程，请你猜想关于 的不等式的不等式新新课课探探究，究，形形成成结结论论问题问题2：可以用几何法：可以用几何法证明柯西不等式吗？证明柯西不等式吗？类比配方类比配方作差法、分析法作差法、分析法向量法向量法问题问题3：向量法证明中等：向量法证明中等号成立的条件是什么？号成立的条件是什么？平行平行五、教学过程五、教学过程探究探究1:1:类比类比 的的推导过程，请你猜想关于推导过程，请你猜想关于 的不等式的不等式新新课课探探究，究，形形成成结结论论设计意图：设计意图：这是一个开放式问题，这是一个开放式问题，关关(a2+b2)(c2+d2)的的不等式有很多，但是不等式有很多，但是如果我们限定问题是如果我们限定问题是类比类比 的推导过程，的推导过程，那么学生就容易找到那么学生就容易找到正确的方向。正确的方向。五、教学过程五、教学过程问题问题1：还有其他方法：还有其他方法证明柯西不等式吗？证明柯西不等式吗？新新课课探探究，究，形形成成结结论论设计意图：设计意图：这是一个开放式问题，这是一个开放式问题，我们刚刚学习了不等我们刚刚学习了不等式的证明，有利于学式的证明，有利于学生打开思路，开阔思生打开思路，开阔思维，多角度探索不同维，多角度探索不同方法，同时也是对不方法，同时也是对不等式证明方法的复习，等式证明方法的复习，也是与引入中的也是与引入中的 不同证明方法形成类不同证明方法形成类比和对照。比和对照。五、教学过程五、教学过程新新课课探探究，究，形形成成结结论论问题问题2：可以用几何法：可以用几何法证明柯西不等式吗？证明柯西不等式吗？设计意图：设计意图：这是本节课的重中之重，这是本节课的重中之重，不仅与不仅与存在几何证明方法进行存在几何证明方法进行了类比，而且引导学生了类比，而且引导学生从代数与几何两个角度从代数与几何两个角度对柯西不等式进行了证对柯西不等式进行了证明，体现了数形结合的明，体现了数形结合的方法，同时得到了向量方法，同时得到了向量形式，而向量形式在推形式，而向量形式在推导导n维形式上起了很重要维形式上起了很重要的作用。的作用。五、教学过程五、教学过程新新课课探探究，究，形形成成结结论论设计意图：设计意图：展示学生的结果，展示学生的结果，共同讨论，取长补共同讨论，取长补短，查漏补缺。短，查漏补缺。展示学生的向量法证明展示学生的向量法证明五、教学过程五、教学过程新新课课探探究，究，形形成成结结论论设计意图：设计意图：等号成立的条件是等号成立的条件是柯西不等式很重要柯西不等式很重要的一部分，在向量的一部分，在向量背景下考虑等号成背景下考虑等号成立的条件，既为应立的条件，既为应用向量形式的柯西用向量形式的柯西不等式提供了依据，不等式提供了依据，也对代数形式和向也对代数形式和向量形式进行了全方量形式进行了全方位的对比，体现数位的对比，体现数学的严密性。学的严密性。问题问题3：向量法证明中等号成立的：向量法证明中等号成立的条件是什么？条件是什么？五、教学过程五、教学过程新新课课探探究，究，形形成成结结论论设计意图：设计意图：在实际应用中，柯在实际应用中，柯西不等式的变式用西不等式的变式用得比较多，所以很得比较多，所以很有必要让学生知道，有必要让学生知道，又由于时间有限，又由于时间有限，所以采取师生共同所以采取师生共同探究的方法，显得探究的方法，显得主次分明。主次分明。师生共同探究柯西不等式的两种师生共同探究柯西不等式的两种变式变式五、教学过程五、教学过程新新课课探探究，究，形形成成结结论论设计意图：设计意图：柯西是近代史上非柯西是近代史上非常著名的数学家，常著名的数学家，在教学过程中介绍在教学过程中介绍柯西的成就，渗透柯西的成就，渗透数学史的教育，符数学史的教育，符合新课程要求。同合新课程要求。同时，提出要求，让时，提出要求，让同学们下课查阅柯同学们下课查阅柯西的相关资料，激西的相关资料，激发学习数学的兴趣。发学习数学的兴趣。介绍柯西其人介绍柯西其人五、教学过程五、教学过程例例解解应应用，用，深深化化认认识识设计意图：设计意图：应用柯西不等式证明问题，类比了应用柯西不等式证明问题，类比了的应用，进一步认识柯西不等式形式上的特点，的应用，进一步认识柯西不等式形式上的特点，体会柯西不等式在证明问题中的作用，学会用体会柯西不等式在证明问题中的作用，学会用柯西不等式证明问题。对于这个例题，采取学柯西不等式证明问题。对于这个例题，采取学生自主探究解决的方法，然后展示有代表性的生自主探究解决的方法，然后展示有代表性的结果，师生共同分析总结。结果，师生共同分析总结。例1.已知a、b为实数，证明(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)2.五、教学过程五、教学过程例例解解应应用，用，深深化化认认识识设计意图：设计意图：应用柯西不等式求最值问题，类比了应用柯西不等式求最值问题，类比了的应用，进一步认识柯西不等式形式上的特点，的应用，进一步认识柯西不等式形式上的特点，体会柯西不等式在求最值问题中的作用，学会体会柯西不等式在求最值问题中的作用，学会用柯西不等式解最值问题。对于这个例题，采用柯西不等式解最值问题。对于这个例题，采取学生自主探究解决的方法，然后展示有代表取学生自主探究解决的方法，然后展示有代表性的结果，师生共同分析总结。性的结果，师生共同分析总结。例2.五、教学过程五、教学过程例例解解应应用，用，深深化化认认识识探究探究2 2：根据根据 的边长关系，你能发现的边长关系，你能发现 这这4个个实数蕴涵着何种大小关系吗？实数蕴涵着何种大小关系吗？设计意图：设计意图：从形出发，得到结从形出发，得到结论，体现数形结合论，体现数形结合的方法，从几何关的方法，从几何关系中得到三角不等系中得到三角不等式，得到四个实数式，得到四个实数的另一种大小关系。的另一种大小关系。五、教学过程五、教学过程例例解解应应用，用，深深化化认认识识问题问题4 4：你能证明三角不等式吗？：你能证明三角不等式吗？设计意图：设计意图：由图形得出三角不等式，由图形得出三角不等式，再由代数法进行证明，充再由代数法进行证明，充分体现数形结合思想。而分体现数形结合思想。而三角不等式也是一个经典三角不等式也是一个经典不等式，跟柯西不等式一不等式，跟柯西不等式一样，体现四个实数的不等样体现四个实数的不等关系，它的证明需要用到关系，它的证明需要用到不等式的基本变形技巧和不等式的基本变形技巧和柯西不等式的变式，是柯柯西不等式的变式，是柯西不等式变式应用的重要西不等式变式应用的重要体现。证明难度大，采取体现。证明难度大，采取学生独立思考，教师个别学生独立思考，教师个别辅导的方式，再共同研究，辅导的方式，再共同研究，给了学生充分的思维空间给了学生充分的思维空间和时间。和时间。五、教学过程五、教学过程例例解解应应用，用，深深化化认认识识问题问题5 5：介绍三角不等式变式，你能给出几何解释吗？：介绍三角不等式变式，你能给出几何解释吗？设计意图：设计意图：三角不等式是经典不等式，三角不等式是经典不等式，它的变式也是经典不等式，它的变式也是经典不等式，体现体现6个实数的不等关系，个实数的不等关系，从数得到，再由形来说明，从数得到，再由形来说明，又一次体现了数形密不可又一次体现了数形密不可分。分。五、教学过程五、教学过程回回顾顾过过程，程，反反思思小小结结问题问题6 6：你学到了什么？有什么收获？还有什么困惑？：你学到了什么？有什么收获？还有什么困惑？设计意图：设计意图：自己反思的学习过程，不自己反思的学习过程，不仅有利于对数学思想方法仅有利于对数学思想方法的掌握，更加培养了学生的掌握，更加培养了学生反思问题的能力和总结归反思问题的能力和总结归纳的学习习惯，提高了学纳的学习习惯提高了学生自主学习的能力。此外，生自主学习的能力。此外，培养了学生表达交流的能培养了学生表达交流的能力，在学习中学会学习与力，在学习中学会学习与分享。分享。五、教学过程五、教学过程回回顾顾过过程，程，反反思思小小结结设计意图：设计意图：延伸课堂，为下一节课做延伸课堂，为下一节课做铺垫，广泛了解柯西不等铺垫，广泛了解柯西不等式的背景和应用，认识柯式的背景和应用，认识柯西不等式的重要作用，提西不等式的重要作用，提高学习兴趣，培养自学能高学习兴趣，培养自学能力。力。作业布置：作业布置：1.写出三维形式的柯西不写出三维形式的柯西不等式及其三角不等式；等式及其三角不等式；2.写出写出n维形式的柯西不维形式的柯西不等式；等式；3.搜集柯西不等式的应用搜集柯西不等式的应用以及柯西不等式的不同形以及柯西不等式的不同形式。式。六、板书设计六、板书设计设计意图：设计意图：凸显本节课的知识重点和凸显本节课的知识重点和方法重点，同时，板书方方法重点，同时，板书方便学生解题应用公式。便学生解题应用公式。二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式定理定理1 数形结合数形结合定理定理2 类比类比变式变式1变式变式2三角不等式三角不等式七、教学反思七、教学反思2.2.本堂课设计问题清晰，学生目标明确，积极探究，发言踊跃，本堂课设计问题清晰，学生目标明确，积极探究，发言踊跃，学生收获大。学生收获大。1.本堂课的设计是根据新课标的要求，运用主体探究课堂教学模本堂课的设计是根据新课标的要求，运用主体探究课堂教学模式完成的，数学思想方法贯穿整节课的始终，体现了数学定理发式完成的，数学思想方法贯穿整节课的始终，体现了数学定理发现的过程以及应用。现的过程以及应用。谢谢大家！谢谢大家！武汉市第四十九中学武汉市第四十九中学 岳露丽岳露丽 2014 2014年年5 5月月